TFPT scientific source excerpt Original repository path: experiments/theory-contracts/elliptic-moebius-source-bridge-20261026/MODULAR-C3-SOURCE-TEST.txt Original file SHA-256: cf2fc1a89b7582ed4986b71c7a9e243525cd4ea2333cdd1cd4c86dce107b3993 Inclusive original lines: 1-190 Line numbers below refer to the original source. This bounded excerpt is source evidence; it is not a new proof/checker run. Conversation metadata and personal execution details are omitted where indicated. 000001 | MODULAR-C3-SOURCE-TEST 000002 | ====================== 000003 | 000004 | Datum: 2026-10-26 000005 | 000006 | Frage 000007 | ----- 000008 | 000009 | Kann die markierte Moduli- oder Braidwirkung der elliptischen Doppeldeckung auf 000010 | den drei geraden Spinlinien den bisher separat eingesetzten v117-Generatoren 000011 | 000012 | U = diag(1,i,-i), M0^3 = 1, = S4 000013 | 000014 | eine ursprüngliche Herkunft geben? Geprüft wird zuerst die standardmäßige 000015 | Theta-Wirkung mit der vorhandenen Vierteldrehungsmarkierung Q:z -> iz. Eine 000016 | bloße Isomorphie zweier abstrakter S4-Darstellungen genügt dafür nicht. 000017 | 000018 | Kurzes Ergebnis 000019 | --------------- 000020 | 000021 | Es gibt einen neuen, exakten positiven Teil und einen ebenso exakten 000022 | Markierungsfehler. 000023 | 000024 | 1. Die drei bloßen Spinlabels sehen nur S3. Die Phasen der drei 000025 | Thetaquadrate ergänzen den normalen V4-Kern und liefern projektiv wirklich 000026 | PSL(2,Z/4) = S4. 000027 | 000028 | 2. Nach einer bestimmten Phasennormierung ist diese dreidimensionale 000029 | Theta-Darstellung exakt unitär äquivalent zum v117-Paar. Der Intertwiner 000030 | wird unten explizit angegeben. Dies ist keine Dimensionsanalogie. 000031 | 000032 | 3. Die Äquivalenz schickt jedoch den modularen T-Weg auf v117-U. Die 000033 | ursprüngliche geometrische Vierteldrehung Q:z -> iz am quadratischen Torus 000034 | ist der modulare S-Weg am Fixpunkt tau=i. Auf den drei Spinlinien hat sie 000035 | Ordnung 2 und ein doppelt auftretendes Eigenzeichen. Sie kann daher weder 000036 | linear noch projektiv v117-U mit den drei verschiedenen Eigenwerten 000037 | {1,i,-i} sein. 000038 | 000039 | 4. Die vorhandene Originalquelle liefert keinen elliptischen T-Moduliweg samt 000040 | Theta-Linien-Paralleltransport und Phasentrivialisierung. Sie liefert einen 000041 | festen vierpunktierten Raum, dessen Ortsrotation Q, sowie eine 000042 | isotriviale A3-Deformationsschleife bei festem j=1728. Damit ist die neue 000043 | Route ein präziser Kandidat für die noch fehlende Brücke, aber noch keine 000044 | Herleitung des originalen v117-Paars. 000045 | 000046 | Der kleinste Test entscheidet somit: ABSTRACT-PAIR-YES, 000047 | SAME-Q-MARKING-NO, ORIGINAL-SOURCE-NOT-YET. 000048 | 000049 | 1. Standardwirkung der Thetaquadrate 000050 | ------------------------------------ 000051 | 000052 | Setze in der geordneten Basis 000053 | 000054 | e_Theta = (theta_2(0|tau)^2, 000055 | theta_3(0|tau)^2, 000056 | theta_4(0|tau)^2)^T. 000057 | 000058 | Die Standardformeln lauten 000059 | 000060 | theta_2(tau+1) = exp(pi i/4) theta_2(tau), 000061 | theta_3(tau+1) = theta_4(tau), 000062 | theta_4(tau+1) = theta_3(tau), 000063 | 000064 | und 000065 | 000066 | theta_2(-1/tau) = sqrt(-i tau) theta_4(tau), 000067 | theta_3(-1/tau) = sqrt(-i tau) theta_3(tau), 000068 | theta_4(-1/tau) = sqrt(-i tau) theta_2(tau). 000069 | 000070 | Nach dem Quadrieren und Abspalten des gemeinsamen Gewicht-1-Faktors ergeben 000071 | sich die konstanten Matrizen 000072 | 000073 | [0 0 1] [i 0 0] 000074 | A_S = [0 1 0], A_T = [0 0 1]. 000075 | [1 0 0] [0 1 0] 000076 | 000077 | Damit gilt exakt 000078 | 000079 | A_S^2 = I, 000080 | A_T^4 = I, 000081 | (A_S A_T)^3 = i I, 000082 | det(A_S) = -1, 000083 | det(A_T) = -i. 000084 | 000085 | Die von A_S und A_T erzeugte lineare Gruppe hat Ordnung 96 und genau den 000086 | skalaren Kern {I,iI,-I,-iI}. Ihre projektive Bildgruppe hat daher Ordnung 24. 000087 | Auf den drei Labels allein bleiben nur die Permutationen 000088 | 000089 | S : (theta_2 theta_4), 000090 | T : (theta_3 theta_4), 000091 | 000092 | also S3. Der zusätzliche projektive Kern ist V4. Dies realisiert die genaue 000093 | Erweiterung 000094 | 000095 | 1 -> V4 -> PSL(2,Z/4) -> PSL(2,F2)=S3 -> 1, 000096 | 000097 | und PSL(2,Z/4) ist S4. Die neue Voraussetzung erklärt somit konkret, wo die 000098 | gegenüber den drei Spinlabels fehlenden vier Elemente pro Labelpermutation 000099 | liegen: in den Level-4-Theta-Phasen. 000100 | 000101 | Literaturgrundlage: Kharchev und Zabrodin geben die verwendeten S- und 000102 | T-Formeln ausdrücklich in Gleichungen (2.51) und (2.52): 000103 | https://arxiv.org/abs/1502.04603 . Novichkov, Penedo und Petcov geben die 000104 | endliche Level-4-Modulargruppe, ihre Präsentation und die Gewichtsfaktoren in 000105 | Gleichungen (2.6) bis (2.14) sowie die explizite Theta-Realisierung in 000106 | Abschnitt 3: https://arxiv.org/abs/2006.03058 . Besonders relevant ist dort 000107 | die Trennung zwischen der inhomogenen Gruppe Gamma_4 = S4 und der homogenen 000108 | Doppelüberlagerung für ungerades Gewicht. Ein Gewicht-1-Theta-Tripel trägt 000109 | daher zunächst die geliftete Wirkung; die projektive S4-Wirkung ist die 000110 | kanonische Aussage, eine lineare S4-Abspaltung braucht eine Phasenwahl. 000111 | 000112 | 2. Exakter Vergleich mit v117 000113 | ----------------------------- 000114 | 000115 | Definiere die determinant-eins-normalisierten Kandidaten 000116 | 000117 | U_Theta = -i A_T, 000118 | M_Theta = i A_S A_T. 000119 | 000120 | Dann gilt exakt 000121 | 000122 | U_Theta^4 = I, 000123 | M_Theta^3 = I, 000124 | (M_Theta U_Theta)^4 = I, 000125 | tr(U_Theta) = 1, 000126 | tr(M_Theta) = 0, 000127 | 000128 | und außerdem die v117-Flachheitsrelation 000129 | 000130 | product_{k=0}^3 U_Theta^k M_Theta U_Theta^{-k} = I. 000131 | 000132 | Die Gruppe hat exakt 24 Elemente. Ihre Ordnungsstatistik ist 000133 | 000134 | Ordnung 1: 1, Ordnung 2: 9, Ordnung 3: 8, Ordnung 4: 6, 000135 | 000136 | und ihre Charakterwerte sind dieselben wie in v117: 000137 | 000138 | (1,3):1, (2,-1):9, (3,0):8, (4,1):6. 000139 | 000140 | Mehr noch: Für 000141 | 000142 | 1 [ -1-i 0 0 ] 000143 | X = ------- [ 0 i -i ] 000144 | sqrt(2) [ 0 1 1 ] 000145 | 000146 | gilt X^*X=I und exakt 000147 | 000148 | X U_Theta X^{-1} = diag(1,i,-i) = U_v117, 000149 | 000150 | X M_Theta X^{-1} 000151 | 000152 | [ 0 -(1+i)/2 (1-i)/2 ] 000153 | = [ -(1+i)/2 -i/2 -1/2 ] = M0_v117. 000154 | [ (1-i)/2 -1/2 i/2 ] 000155 | 000156 | Der gemeinsame Intertwinerraum der beiden Gleichungen ist eindimensional. 000157 | Bis auf eine skalare Phase ist X also erzwungen. Das ist die stärkste positive 000158 | Aussage dieses Tests: v117 ist genau die phasennormalisierte projektive 000159 | Thetaquadrat-Darstellung der endlichen Level-4-Modulargruppe. 000160 | 000161 | Die Phasen -i und i dürfen semantisch nicht verschwinden. Die Rohmatrizen 000162 | erzeugen die zentrale Ordnung-96-Erweiterung. Die Phasen wählen eine lineare 000163 | S4-Sektion, die zusätzlich die v117-Relationen und die SU(3)-Determinante 000164 | erfüllt. Aus der bloßen Wirkung auf den drei Spinlabels folgen sie nicht. 000165 | 000166 | 3. Der Q-Markierungstest 000167 | ------------------------ 000168 | 000169 | Auf dem quadratischen Torus 000170 | 000171 | E_i = C/(Z+iZ) 000172 | 000173 | wirkt die ursprüngliche Vierteldrehung Q:z -> iz auf der markierten 000174 | Homologiebasis (1,i) durch 000175 | 000176 | [ 0 -1 ] 000177 | Q_* = [ 1 0 ], 000178 | 000179 | also durch den modularen S-Generator. Auf den drei nichttrivialen 000180 | Zweiertorsionspunkten 000181 | 000182 | a=1/2, b=i/2, c=(1+i)/2 000183 | 000184 | gilt 000185 | 000186 | Q(a)=b, Q(b)=a, Q(c)=c. 000187 | 000188 | Dasselbe liest man an den Thetaquadraten: Bei tau=i ist der gemeinsame 000189 | Gewichtsfaktor -i tau gleich 1, also wirkt Q durch A_S. Nach der 000190 | determinant-eins-Normierung ist dies -A_S mit