TFPT scientific source excerpt
Original repository path: experiments/theory-contracts/source-joint-spin-family-lift-20260922/PROOF.md
Original file SHA-256: d3ae02543e90d840879808554816f923cc36cab52268a032d1ce29c2569f5bd2
Inclusive original lines: 36-123
Line numbers below refer to the original source.
This bounded excerpt is source evidence; it is not a new proof/checker run.
Conversation metadata and personal execution details are omitted where indicated.

000036 | ## 3. Explizite Konstruktion und vollständige Klassifikation der betrachteten Lifts
000037 | 
000038 | Sei \(E\) ein unitäres komplexes Rang-5-Bündel, \(D=\det E\). Wir verlangen, dass der Spin(10)-Anteil die übliche reelle Darstellung von U(5) überdeckt. Für diese feste Projektion lässt sich die Quadratwurzel lokal auf der Doppelüberdeckung
000039 | \[
000040 | \widetilde{U(5)}=\{(g,z):z^2=\det g\}
000041 | \]
000042 | verwenden. Auf dem Halbspinor wirkt der Lift als
000043 | \[
000044 | s(g,z)|_{16}=z^{-1}\Lambda^{\rm even}g.
000045 | \]
000046 | Unter \(z\mapsto-z\) wechselt sein Vorzeichen.
000047 | 
000048 | Für ganze Zahlen \(m_1,\ldots,m_4\) mit
000049 | \[
000050 | \boxed{\sum_{j=1}^4m_j=-2}
000051 | \]
000052 | definiere die Familienwirkung
000053 | \[
000054 | A_m(g,z)=\operatorname{diag}
000055 | \bigl(z^{2m_1+1},\ldots,z^{2m_4+1}\bigr).
000056 | \]
000057 | Ihre Determinante ist eins. Der Wechsel \(z\mapsto-z\) multipliziert sie mit \(-I_4\). Daher ist
000058 | \[
000059 | \boxed{\iota_m(g)=[s(g,z),A_m(g,z)]\in K}
000060 | \]
000061 | von der lokalen Wurzel unabhängig und ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Er kann unmittelbar auf die U(5)-Übergangsfunktionen von E angewandt werden.
000062 | 
000063 | Auf `(16,4)` ergibt sich ohne gebrochene Potenzen der globale Träger
000064 | \[
000065 | \boxed{
000066 | W_m=\Lambda^{\rm even}E\otimes
000067 | \left(D^{m_1}\oplus D^{m_2}\oplus D^{m_3}\oplus D^{m_4}\right).
000068 | }
000069 | \tag{1}
000070 | Dieser hat Rang 64. Die Quadratwurzel ist im gemeinsamen Träger vollständig verschwunden.
000071 | 
000072 | **Klassifikationsumfang.** Dies sind bis auf Familienkonjugation alle kontinuierlichen Homomorphismen dieser Art mit festem gewöhnlichem U(5)-Spinprojektionsanteil. Denn der Lie-Algebrahomomorphismus \(\mathfrak{su}(5)\to\mathfrak{su}(4)\) muss null sein: Ein nichttrivialer Homomorphismus der einfachen Algebra wäre injektiv, was wegen \(24>15\) unmöglich ist. Die Familienwirkung faktorisiert also über den Wurzelkreis z. Seine SU(4)-Gewichte sind ganze \(\ell_j\) mit Summe null. Die erforderliche Wirkung von \(z=-1\) verlangt ungerade \(\ell_j\). Mit \(\ell_j=2m_j+1\) folgt exakt die obige Familie. Allgemeine nichtnatürliche Bündelzuordnungen, zusätzliche Materie oder andere Projektionen liegen außerhalb dieses Satzes.
000073 | 
000074 | **Ladungen und Produkte.** Auf dem Standardmodell-Unterträger \(S(U(3)\times U(2))\subset SU(5)\) gilt \(\det g=1\). Die Faktoren \(D^{m_j}\) haben dort keine zusätzliche Hyperladung. Deshalb enthält W genau vier Kopien der ursprünglichen 16 Ladungsgewichte. In den ursprünglichen Ganzzahleinheiten sind die Multiplizitäten
000075 | \[
000076 | (-4:12),\ (-3:8),\ (0:4),\ (1:24),\ (2:12),\ (6:4).
000077 | \]
000078 | Die ganze E₈-Verzweigung ist eine Darstellung von K. Daher sind ihre Lie-Produkte und die invariante hermitesche Form beziehungsweise Killingform unter jeder dieser Übergangsfunktionen wohldefiniert. Das ist eine Aussage über Faserprodukte und innere Produkte, noch keine CAR-Feldalgebra oder raumzeitliche Wechselwirkung.
000079 | 
000080 | Die Ladungsprüfung betrifft die lokale algebraische SM-Wirkung. Sie behauptet keine globale Reduktion des ungeraden E-Bündels auf ein SU(5)- oder reines SM-Hauptbündel über der Normal-Kugel; dessen Determinantenlinie ist gerade nicht trivial. Das physische Eichbündel und die Bedeutung dieser Normalgeometrie bleiben eigens abzubilden.
000081 | 
000082 | Auch die `4` bezeichnet hier den A₃-/SU(4)-Viererträger der E₈-Verklebung. Sie beweist keine vier physikalischen Familien. Das Original unterscheidet diese Verklebung von der SU(3)-Flavorwirkung auf dem dreidimensionalen Homologieraum (`origin_theory.tex:1210–1218`). Die physische Familienzuordnung wird durch (1) noch nicht erledigt.
000083 | 
000084 | Da \(c_1(\Lambda^{\rm even}E)=8c_1(E)\), ist
000085 | \[
000086 | c_1(W_m)=4\cdot8c_1(E)+16\left(\sum_jm_j\right)c_1(E)=0.
000087 | \]
000088 | 
000089 | ## 4. Der kleinste Lift und sein genauer E₈-Sektor
000090 | 
000091 | Die ursprüngliche bedingte Clutching-Klasse \((c_1(E_3),c_1(E_2))=(0,1)\) bestimmt auf \(S^2\) bereits die glatte Bündelklasse. Wähle zur Rechnung den Repräsentanten
000092 | \[
000093 | E=\mathbb C^3\oplus(L\oplus\mathbb C),\qquad c_1(L)=1.
000094 | \]
000095 | Es wird keine zusätzliche physische Wahl aus der konkreten Diagonalisierung abgeleitet. Der Determinantenloop hat Grad eins. Sein gemeinsamer Lift endet auf der Überdeckung bei \((-1,-I_4)\); als K-Schleife besitzt er die Klasse
000096 | \[
000097 | 2\in\pi_1(K)=\mathbb Z_4.
000098 | \]
000099 | Er ist damit nicht automatisch der Erzeuger der ursprünglichen viergradigen Clock. Einheitswindung, Liftklasse und Clockwirkung bleiben typverschiedene Daten.
000100 | 
000101 | Die Familiengewichte entlang der Determinantenrichtung lauten
000102 | \[
000103 | \beta_j=m_j+\tfrac12,\qquad \sum_j\beta_j=0.
000104 | \]
000105 | Jedes Quadrat ist mindestens \(1/4\). Folglich
000106 | \[
000107 | \sum_j\beta_j^2\ge1,
000108 | \]
000109 | mit Gleichheit genau für zwei Gewichte \(+1/2\) und zwei \(-1/2\). Bis auf die SU(4)-Weylgruppe bleibt genau
000110 | \[
000111 | m_A=(0,0,-1,-1).
000112 | \]
000113 | Der gemeinsame Träger ist dann
000114 | \[
000115 | \boxed{
000116 | W_A=(\Lambda^{\rm even}E)^{\oplus2}
000117 | \oplus(\Lambda^{\rm even}E\otimes D^{-1})^{\oplus2}.
000118 | }
000119 | \tag{2}
000120 | 
000121 | Im D₅-Faktor besitzt die primitive U(5)-Clutchingrichtung das Vektorgewicht \(e_{\rm weak}\) mit Normquadrat eins. Im A₃-Faktor ist \((1/2,1/2,-1/2,-1/2)\) ein Gewicht der `6`, ebenfalls mit Normquadrat eins. Das Paar liegt daher im `(10,6)`-Teil des originalen E₈-Gitters und hat Normquadrat zwei: **Es ist eine E₈-Wurzel.** Dieser Anschluss ist insbesondere mit dem ursprünglichen bosonischen/Higgs-Sektor verträglich.
000122 | 
000123 | Das Normminimum ist ein mathematisch eindeutiger Zusatzvertrag. Dass der ursprüngliche reflexionspositive Nahtkern gerade dieses Minimum auswählt, ist eine andere Behauptung und wird hier nicht aus dem Wort „primitiv“ gefolgert. Die Rahmenmarkierung und ihre Clock dürfen auch nicht nachträglich passend gewählt werden.