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000020 | Dabei ist S² die im P1-Hardening bereits verwendete kompaktifizierte orientierte Normalfläche. Eine runde Metrik oder volle Spin(3)-Symmetrie wird für diese Aussage nicht gebraucht. Die Sphäre hat eine eindeutige Spinstruktur; ihre beiden chiralen Spinorlinien haben erste Chernklassen ±1. Das äußere Produkt mit der Nahtklasse ist daher ein Bott-Generator.
000021 | 
000022 | Die tatsächlichen Standardmodell-Ladungen und die beiden nativen Clockmatrizen bestimmen gleichzeitig einen einzigen semisimplen Singlet-Kanal:
000023 | \[
000024 | \mathfrak{su}(2)_\lambda,\qquad
000025 | \lambda=(-\tfrac12,\ldots,-\tfrac12).
000026 | \]
000027 | Seine Einbettung in E8 hat Index eins. Dieser Weg vergleicht keine bloßen Dimensionszahlen; er verwendet Klassenprodukt, Clutching, tatsächliche Gruppenwirkung und die normierte Liealgebraform.
000028 | 
000029 | ## Expliziter Test des Klassenprodukts
000030 | 
000031 | Setze
000032 | \[
000033 | P(n)=\tfrac12(I+n\cdot\sigma),\quad
000034 | u(z,n)=I+(z-1)P(n),\quad
000035 | U(z,n)=u(z,n)u(z,n_0)^{-1}.
000036 | \]
000037 | Es gilt det U=1. An z=1 und n=n₀ ist U=I; die Karte geht deshalb auf dem Smash-Produkt S¹∧S²≅S³ in SU(2)≅S³ über.
000038 | 
000039 | Mit z=exp(iθ), n₀=e₃, a=cos(θ/2), b=sin(θ/2) lautet U=q₀I+iq·σ:
000040 | \[
000041 | q_0=a^2+b^2n_z,\qquad
000042 | q=ab(n-e_3)+b^2(n\times e_3).
000043 | \]
000044 | Der Checker berechnet die normierte geometrische Gradzahl direkt. Für n=(sinβ cosφ,sinβ sinφ,cosβ) ist der Volumen-Jacobian
000045 | \[
000046 | J=\tfrac12(1-\cos\beta)\sin\beta\sin^2(\theta/2),
000047 | \qquad
000048 | \int J\,d\theta\,d\beta\,d\phi=2\pi^2.
000049 | \]
000050 | Der geometrische Grad ist somit exakt +1 in der angegebenen Orientierung. Der Betrag der geklammerten E8-Grundklasse ist eins. Vorzeichen von Spinor-Chiralität, ungeradem Cherncharakter und Clutching-Konvention werden dadurch nicht stillschweigend gleichgesetzt.
000051 | 
000052 | Der Klassenweg verwendet Standard-Bott-Theorie; explizite Clifford-Repräsentanten und verbindende Abbildungen sind in Schulz-Baldes–Stoiber, [The generators of the K-groups of the sphere](https://arxiv.org/abs/2403.18944), beschrieben. Die hier angegebene Karte und ihr Grad wurden zusätzlich symbolisch gerechnet.
000053 | 
000054 | ## Auswahl des nativen SU(2)-Kanals
000055 | 
000056 | Aus der vorhandenen Chevalley-Algebra werden sämtliche Wurzelräume ausgewählt, die mit den Standardmodell-Wurzelgeneratoren und Hyperladung kommutieren. Das ergibt 20 Wurzeln: zwölf A₃-Wurzeln, vier C-Felder und ihre vier Gegenfelder. Sie bilden mit vier Cartanrichtungen ein A₄-System. Alle 120 nichtverschwindenden wurzelwertigen Klammerausgaben bleiben im System.
000057 | 
000058 | Die zusätzliche Hyperladungs-Cartanrichtung gehört ebenfalls zum vollen SM-Kommutanten. Dieser lautet auf Liealgebraebene su(5)⊕u(1)Y; die Aussage betrifft keine globale Gruppenkonstruktion oder Eichsymmetrieherleitung.
000059 | 
000060 | Die native Clockwirkung auf dem zugehörigen Fundamental zerfällt in zwei triviale Linien und einen irreduziblen Dreierblock: