TFPT scientific source excerpt Original repository path: experiments/theory-contracts/elliptic-moebius-source-bridge-20261026/D4-ORBIFOLD-RIGIDITY.txt Original file SHA-256: 167d26868e5f1c0a09420a8e51168893fd8341e595fb06e964e0053cb88859e4 Inclusive original lines: 181-360 Line numbers below refer to the original source. This bounded excerpt is source evidence; it is not a new proof/checker run. Conversation metadata and personal execution details are omitted where indicated. 000181 | 000182 | Das ist die präzise Halbmeridianrelation, die im früheren modularen Vergleich 000183 | als zusätzliche endliche Auswahl erschien. P2 liefert M^3=I und damit zunächst 000184 | nur a^6=I. Ob a selbst Ordnung 3 oder 6 hat, wird im nächsten Abschnitt 000185 | entschieden. 000186 | 000187 | 3. Exakter SU(3)-Starrheitssatz 000188 | ------------------------------- 000189 | 000190 | Satz. 000191 | 000192 | Seien a,b,c in SU(3) unitär und erfüllten 000193 | 000194 | a b c=I, 000195 | b^2=I, 000196 | c^4=I, 000197 | spec(c)={1,i,-i}, 000198 | spec(a^2)={1,omega,omega^2}. 000199 | 000200 | Sei b nicht die Identität und die Darstellung irreduzibel. Dann ist das 000201 | markierte Paar bis auf Konjugation durch den SU(3)-Zentralisator von c 000202 | eindeutig. In einer passenden markierten Basis gilt 000203 | 000204 | c=U=diag(1,i,-i), 000205 | a^3=I, 000206 | M:=a^2, 000207 | b=M U^{-1}. 000208 | 000209 | Dieses Paar ist das exakte v117-Paar. 000210 | 000211 | Beweis. 000212 | 000213 | Da b unitär, b^2=I und det(b)=1 ist, besitzt das nichttriviale b die Eigenwerte 000214 | {1,-1,-1}. Es gibt daher einen Einheitsvektor v mit 000215 | 000216 | b = 2 v v^* - I. 000217 | 000218 | Schreibe 000219 | 000220 | p_j=|v_j|^2, 000221 | p_1+p_2+p_3=1. 000222 | 000223 | Wegen c=diag(1,i,-i) ist 000224 | 000225 | tr(bc)=2[p_1+i(p_2-p_3)]-1. 000226 | 000227 | Da a=(bc)^{-1} und bc unitär ist, folgt 000228 | 000229 | tr(a)=conj(tr(bc)) 000230 | =2p_1-1-2i(p_2-p_3). (1) 000231 | 000232 | Nun ist a eine SU(3)-Quadratwurzel von M=a^2. In einer Eigenbasis von M 000233 | kommutiert a mit M. Für M=diag(1,omega,omega^2) gibt es unter der 000234 | Determinantenbedingung genau vier Quadratwurzelzweige: 000235 | 000236 | Eigenwerte von a tr(a) 000237 | ------------------------------------------------ 000238 | (1, omega^2, omega) 0 000239 | (1,-omega^2,-omega) 2 000240 | (-1,-omega^2, omega) 2 omega 000241 | (-1, omega^2,-omega) 2 omega^2. 000242 | 000243 | Der Zweig tr(a)=2 ist unmöglich. Der Realteil von (1) ergäbe p_1=3/2. 000244 | 000245 | Für tr(a)=2omega oder 2omega^2 hat der Realteil den Wert -1. Gleichung (1) 000246 | ergibt dann p_1=0. Somit ist v orthogonal zur c-Eigenlinie C e_1. Folglich 000247 | 000248 | b e_1=-e_1, 000249 | c e_1=e_1. 000250 | 000251 | Die Linie C e_1 ist unter b und c invariant. Das widerspricht der angenommenen 000252 | Irreduzibilität. 000253 | 000254 | Es bleibt nur tr(a)=0. Gleichung (1) liefert exakt 000255 | 000256 | p_1=1/2, 000257 | p_2=p_3=1/4. 000258 | 000259 | Dieser Quadratwurzelzweig ist 000260 | 000261 | spec(a)={1,omega,omega^2}, 000262 | a^3=I. 000263 | 000264 | Alle drei Komponenten von v sind ungleich null. Der diagonale 000265 | SU(3)-Zentralisator von c entfernt die beiden relativen Phasen von v; eine 000266 | globale Phase ändert vv^* nicht. Damit liegt genau eine Zentralisatorbahn vor. 000267 | Aus a b c=I und a^{-1}=a^2=M folgt schließlich 000268 | 000269 | b=a^{-1}c^{-1}=M U^{-1}. 000270 | 000271 | Für die v117-Matrix M0 ist der +1-Eigenvektor von b=M0 U^{-1} beispielsweise 000272 | 000273 | v=(1+i,-i,1)^T/2, 000274 | 000275 | mit den gerade erzwungenen Betragsquadraten (1/2,1/4,1/4). Damit ist die 000276 | eindeutige Bahn nicht nur abstrakt, sondern exakt die vorhandene Matrixbahn. 000277 | QED. 000278 | 000279 | Als Konsequenz gelten 000280 | 000281 | b^2=I, 000282 | c^4=I, 000283 | (bc)^3=I. 000284 | 000285 | Die Dreiecksgruppe (2,4,3) ist S4. Das exakte v117-Zertifikat bestätigt für 000286 | diese konkrete Darstellung Ordnung 24, die Elementordnungen 1,2,3,4 und den 000287 | Charakter der vorzeichengetwisteten Standarddarstellung. 000288 | 000289 | 4. Was dieser Beweis am alten Starrheitssatz repariert 000290 | ------------------------------------------------------ 000291 | 000292 | Der archivierte Satz 000293 | 000294 | documents/archive--tfpt-45--source_extracts--03_em_flavor_source/ 000295 | sections/004-source.tex, Zeilen 2 bis 111 000296 | 000297 | setzt einen lokalen Block D mit regulärem kubischem Spektrum an. In Zeilen 80 000298 | bis 90 wird anschließend aus D4-Äquivarianz gefolgert, die Vierteldrehung 000299 | müsse die drei Eigenlinien durch die konkrete Matrix P zyklisch permutieren. 000300 | Diese Folgerung ist ohne eine markierte lineare Faserhebung nicht bewiesen. 000301 | Eine Basissymmetrie permutiert die vier Punktlagen; sie bestimmt dadurch noch 000302 | keinen einzigartigen Operator auf einer unabhängigen Rang-3-Faser. 000303 | 000304 | Der neue Satz ersetzt diesen Schritt durch eine überprüfbare Struktur: 000305 | 000306 | ehrlicher Abstieg auf (P1 minus mu4)/D4, 000307 | b^2=c^4=I, 000308 | M=a^2, 000309 | markiertes c-Spektrum, 000310 | Unitarität, Determinante 1 und Irreduzibilität. 000311 | 000312 | Unter genau diesen Prämissen folgt die v117-Matrixbahn. Es wird keine 000313 | zyklische Eigenlinienpermutation vorausgesetzt. 000314 | 000315 | 5. Der stabile D4-Zweig steigt funktoriell ab 000316 | ------------------------------------------------ 000317 | 000318 | Dieser Punkt lässt sich gegenüber der ersten Fassung des Audits schließen. 000319 | Sei E_* eine stabile parabolische Struktur vom parabolischen Grad null mit 000320 | einer genuinen D4-Linearisierung, welche Marken, Gewichte und volle Flags 000321 | erhält. Nach Mehta-Seshadri beziehungsweise der metrischen Fassung von 000322 | Biquard besitzt E_* eine angepasste irreduzible unitäre Verbindung. Die 000323 | zugehörige Hermite-Einstein-Metrik h ist im stabilen Fall bis auf einen 000324 | positiven Skalar eindeutig. 000325 | 000326 | Für g in D4 ist g^*h wieder eine angepasste Hermite-Einstein-Metrik auf 000327 | demselben linearisierten parabolischen Bündel. Also gilt 000328 | 000329 | g^*h = lambda_g h, lambda_g>0. 000330 | 000331 | Da g endliche Ordnung besitzt, folgt lambda_g^{ord(g)}=1 und damit 000332 | lambda_g=1. Die Metrik, ihre Chern-Verbindung und die zugehörige flache 000333 | Mehta-Seshadri-Verbindung sind D4-invariant. Sie steigen deshalb auf den 000334 | Orbifoldquotienten ab. Dieser Schluss ist kanonisch und führt keine zweite 000335 | Verbindungswahl ein. 000336 | 000337 | Die passende Primärquelle für die angepasste metrische Konstruktion ist 000338 | 000339 | Olivier Biquard, 000340 | Fibres paraboliques stables et connexions singulieres plates, 000341 | Bull. Soc. Math. France 119 (1991), 231-257, 000342 | https://doi.org/10.24033/bsmf.2166 000343 | 000344 | Falls der Ausgangspunkt nur ein D4-fester Modulpunkt ist, liefert Stabilität 000345 | zunächst Isomorphismen g^*E_* -> E_* bis auf Skalare. Nach Fixierung der 000346 | Determinante liegt der Projektivitätsobstruktor in 000347 | 000348 | H^2(D4,mu3). 000349 | 000350 | Diese Gruppe verschwindet: Gruppenkohomologie in positivem Grad wird von 000351 | |D4|=8 vernichtet, während die Koeffizienten Exponent 3 haben. Wegen 000352 | gcd(8,3)=1 bleibt nur null. Ebenso ist 000353 | 000354 | H^1(D4,mu3)=Hom(D4,mu3)=0. 000355 | 000356 | Damit existiert der determinantentriviale genuine Lift und ist bis auf 000357 | Äquivalenz eindeutig. Ist die projektive Ordnung-4-Wirkung die im Original 000358 | angegebene A3-Coxeterklasse mit Spektrum {i,-1,-i}, dann erzwingen 000359 | 000360 | det(c)=1,