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000001 | Fortsetzung 33: Die Annulusinversion auf der ganzen Quelle
000002 | Korrekturen zu Antwort 32 (übernommen)
000003 | Flavorsingulett: P-fix ist kein Flavorsingulett. Der Decktransport mit Vorzeichen (−,−,+;+,+,+) bewegt die ρ-Linie. Meine Aussage über Entfernbarkeit und CP ziehe ich zurück.
000004 | Stokes: Stokes gilt nur für das konkrete Diskusintegral. Green-Isotropie bleibt mit dem Kreuzkern (2 cosh ℓh)⁻¹ ≠ 0 vereinbar. Die Aussage „Randleser blind für U₆“ ziehe ich zurück.
000005 | Ordnungsvorzeichen: Der Basiswechsel −I lässt −U₆ unverändert. Mein Ordnungsbeweis war falsch; der richtige Vergleich bleibt diag(1,−1,1,−1,1,−1).
000006 | Seiten: Ucal ⊕ Ucal ist keine Seitenidentifikation. Beide Quellen haben beide Flächen.
000007 | Fragestellung
000008 | 
000009 | Ihr habt den linearen Ganzquellenpfeil Ucal = iN ⊗ K_F R_x mit Ziel Φ_p = −Φ̄∘inv. Er tauscht keine Flächen. Die holomorphe Inversion z ↦ 1/z tut dagegen zweierlei: Sie kehrt log|z| um (Flächentausch r ↦ ℓ−r) und die Naht (x ↦ −x). Ich bestimme die tatsächlichen Lifts dieser Inversion auf den ganzen F5-Operator D = N∂_r + S·A + Z·Φ (Prüfskript: tfpt-checks-33/inversion_lift.py).
000010 | 
000011 | Satz I: Die Normalfaser ist erzwungen
000012 | 
000013 | Ein Lift der Inversion hat die Form Θ = P_r R_x ⊗ M ⊗ F. Er muss N∂_r erhalten, obwohl ∂_r ↦ −∂_r, also M N M⁻¹ = −N. Er muss S·A in S·A’ überführen, mit A’ = −R_x A R_x, also M S M⁻¹ = −S.
000014 | 
000015 | Normalfaser M	N ↦ −N	S ↦ −S	geometrische Wirkung
000016 | 1	nein	nein	keine
000017 | N (in Ucal)	nein	ja	nur Nahtumkehr, Flächen fest
000018 | S (in R_geo)	ja	nein	nur Flächentausch, Winkel fest (Typ 1/z̄)
000019 | Z	ja	ja	holomorphe Inversion 1/z
000020 | 
000021 | Bis auf einen Skalar ist M = Z die einzige Wahl. Weil Z ∝ S·N, ist die Inversion genau die Verkettung aus der Nahtumkehr in Ucal und dem Flächentausch in R_geo. Ucal allein kann die Inversion nicht sein, R_geo allein auch nicht.
000022 | 
000023 | Satz II: Zwei Lifts, unterschieden durch ihr Quadrat
000024 | 
000025 | Mit M = Z bleiben für den inneren Faktor F zwei Möglichkeiten:
000026 | 
000027 | Lift	Quadrat	Ziel
000028 | Θ₊ = P_r R_x ⊗ Z ⊗ K_F	+1	Φ_p = +Φ̄∘inv
000029 | Θ₋ = P_r R_x ⊗ Z ⊗ γ_F K_F	−1	Φ_p = −Φ̄∘inv
000030 | 
000031 | Außerdem gilt exakt R_geo ∘ Ucal = i·Θ₋. Für die Konjugation von Operatoren ist das derselbe Pfeil. Als Einteilchenoperatoren unterscheiden sich beide im Quadrat: (i·Θ₋)² = +1.
000032 | 
000033 | Satz III: Normal- und Domänenwirkung von Θ₋
000034 | Geklebte Domäne: Auf D_u = {f(ℓ) = u·f(0)} tauscht P_r die Flächenwerte, und R_x macht aus u(x) den Faktor u⁻¹(x). Daraus folgt (Θf)(ℓ) = u·(Θf)(0). Die Domäne wird exakt erhalten, weil sich die beiden Umkehrungen aufheben. Bei variablem Spinrahmen kommen die Endpunktfaktoren H(0), H(ℓ) aus eurer H¹-Formel hinzu.
000035 | Quarter: α wird zu −α, also 1/4 zu 3/4. Die Inversion vertauscht damit die beiden Quarterblöcke von B_cov = 2(A_{1/4} ⊕ A_{3/4}).
000036 | Strukturen: C₀ ↦ −C₀. Zusammen mit dem Flächentausch bleibt C_faces = diag(C₀, −C₀) erhalten. Γ ↦ −Γ, also ist Θ₋ neu-antilinear.
000037 | Graph und Zeit: Die Konjugationswirkung stimmt mit R_geo∘Ucal überein. G(B_q) geht in G(B_p) mit getauschten Flächen über. Zeit wird mit +t transportiert, weil R_geo B ↦ −B und Ical ↦ −Ical die Zeit erhalten und Ucal +t trägt.
000038 | Satz IV: Spinauswahl und Gegenprobe
000039 | 
000040 | Die Sechserdrehung zerfällt als R = θ∘c⁻¹ mit kommutierendem kubischem Deck (c³ = 1). Für den Operatorlift folgt R̂⁶ = Θ⁶ = (Θ²)³. Der geometrische Spinlift verlangt r⁶ = −I, auf CAR also α_R⁶ = (−1)^F. Prüfung:
000041 | 
000042 | Θ₋: Θ⁶ = −1, stimmt.
000043 | i·Θ₋ = R_geo∘Ucal: Θ⁶ = +1, stimmt nicht.
000044 | 
000045 | Gegenprobe. Zwei unabhängige Rechnungen treffen sich. Die geometrische Spinbedingung r⁶ = −I wählt Θ₋, und dessen Ziel −Φ̄∘inv ist genau euer unabhängig berechnetes v252/Ucal-Ziel. Die Übereinstimmung des Zielvorzeichens ist allerdings schwach, weil ±Φ durch γ_F unitär äquivalent sind. Tragend ist die Typaussage: Quadrat −1 gegen +1.
000046 | 
000047 | Bedingung: Das Quadrat ist nur dann eine Invariante, wenn die Phase des Einteilchenlifts durch eine antilineare Realstruktur (Majorana/J) bis auf das Vorzeichen festgelegt ist. Welche vorhandene Realstruktur mit Θ₋ kommutiert, ist der erste offene Prüfpunkt.
000048 | 
000049 | Ergebnis
000050 | 
000051 | Ein zweiter p-Input ist nicht nötig. Der q→p-Pfeil mit Flächentausch ist Θ₋. Seine Normalfaser ist erzwungen, sein Vorzeichen ist durch den Spin bestimmt. Er setzt sich aus zwei vorhandenen Bausteinen zusammen, R_geo und Ucal, und ist laut Seedop 103–119 als Intertwiner zulässig. Damit ist der hexagonale Operator R̂ = Θ₋∘ĉ⁻¹ auf der ganzen Quelle festgelegt: Annulusinversion mit Flächentausch mal Familiendeck. Seine sechste Potenz ist die Fermionparität.
000052 | 
000053 | Offen und nächster Test
000054 | Realstruktur: Kommutiert Θ₋ mit J_F oder mit der Majorana-Realstruktur der ganzen F5-Quelle? Das entscheidet, ob Satz IV unbedingt gilt.
000055 | Kubischer Faktor: ĉ muss auf den ganzen 96 als vorhandene Familien- oder Clockwirkung identifiziert werden. Dabei sind die Tests aus Antwort 31 und 32 zu beachten: Der kubische Faktor σ_g ist nicht σ₀ am festen D5-Gewicht.
000056 | Ecken z = ±1: Dort liegen die Fixpunkte von R, und die Fuchs-Eckendomäne braucht eine eigene Prüfung. Satz III ist nur für das Glattstück und den konstanten Rahmen bewiesen.