TFPT scientific source excerpt
Original repository path: experiments/theory-contracts/equivariant-monodromy-20261023/THEOREMS.txt
Original file SHA-256: e96dab9d854b4fa6c4c93dd7792fa8769d0ee41abdafa0072817d44990ac3b85
Inclusive original lines: 312-366
Line numbers below refer to the original source.
This bounded excerpt is source evidence; it is not a new proof/checker run.
Conversation metadata and personal execution details are omitted where indicated.

000312 | 8. Tatsächlicher Anschluss an die Vorzeichenliftgruppe
000313 | 
000314 | Schreibe Gamma_sign=Hom(L,Z/2) semidirect <J> in den bereits bewiesenen
000315 | Koordinaten(u,v,k), u,v in F2^4, k in Z/4:
000316 |   (u,v,k)(a,b,l)=(u+a,v+b+(k mod2)a,k+l).
000317 | Sie hat Ordnung1024 und Exponent4.
000318 | 
000319 | 8a. Explizite Gitterisometrie. In den reellen Gaussian Koordinaten ist
000320 |   T=directsum_(j=1)^4 (1/2)[[1,-1],[1,1]].
000321 | Dann T^t T=I/2 und TJ=JT. T bildet die240 ursprünglichen Gaussian Wurzeln
000322 | exakt auf die240 Standardwurzeln von E8 ab. Also identifiziert T die
000323 | integralen Gitter und die tatsächliche Viertelclock. Insbesondere
000324 | g -> T g_real T^-1 ist ein treuer Homomorphismus G->O(E8), und
000325 |   Gamma_sign -> <J> -> G, (u,v,k)->J^k
000326 | ist ein expliziter Homomorphismus mit Kern Hom(L,Z/2).
000327 | Er vergisst die Vorzeichenlifts und ist keine Einbettung.
000328 | 
000329 | 8b. Keine Einbettung in einer Richtung. G ist größer als Gamma_sign.
000330 | Eine Einbettung Gamma_sign->G müsste eine Sylow2 Untergruppe von G
000331 | treffen, da46080=1024*45. G enthält ein Element der Ordnung8;
000332 | ein exakter Matrixzeuge steht in results.json. Jede Sylow2 Untergruppe
000333 | enthält daher einen solchen Zeugen bis Konjugation. Das widerspricht
000334 | dem Exponenten4 von Gamma_sign. Beide Gruppen sind nicht isomorph.
000335 | 
000336 | 8c. Gemeinsame Quotienten. Die60 erzeugenden Reflexionen sind eine einzige
000337 | Konjugationsklasse von Involutionen. Deshalb ist G_ab=C2, wobei det
000338 | den nichttrivialen Quotienten liefert. Gamma_sign ist eine2 Gruppe.
000339 | Jeder gemeinsame Quotient Q ist somit eine endliche2 Gruppe, deren
000340 | Abelianisierung zyklisch ist. Eine endliche p Gruppe mit zyklischer
000341 | Abelianisierung ist zyklisch: Q/Phi(Q) ist ein Quotient von Q_ab und
000342 | hat höchstens einen Erzeuger; nach dem Frattinilemma erzeugt dessen
000343 | Lift bereits Q. Das Frattinilemma folgt direkt, weil jede echte
000344 | Untergruppe in einer maximalen Untergruppe liegt und diese Phi(Q)
000345 | enthält. Als Quotient von G wird das zyklische Q durch eine Involution
000346 | erzeugt. Also Q=1 oderC2. Beide Fälle treten auf, etwa durch
000347 | Gamma_sign->C2, (u,v,k)->k mod2, und G->C2 durch det.
000348 | Kein gemeinsamer Quotient erhält eine Clock exakter Ordnung4.
000349 | 
000350 | 8d. Keine zentrale Umdeutung der vorhandenen Vorzeichenklasse.
000351 | Ein G äquivarianter Homomorphismus A=Hom(L,Z/2)->Z/4 bei trivialer
000352 | Zielwirkung hat Bild in {0,2}. Solche Homomorphismen entsprechen
000353 | G invarianten Elementen von L/2L. Die gestapelten Matrizen(g-I) der
000354 | 60 Originalreflexionen haben modulo2 Rang8. Somit ist (L/2L)^G=0.
000355 | Jeder solche Koeffizientenhomomorphismus ist null. Insbesondere lässt
000356 | sich der Determinantenkokykel nicht durch einen nichttrivialen zentralen
000357 | Pushout des Vorzeichenkerns mit derselben G Basiswirkung identifizieren.
000358 | Dies schließt nicht beliebige Gruppenabbildungen mit anderen Daten aus.
000359 | 
000360 | Das explizite gemeinsame Darstellungsdiagramm besteht daher aus der
000361 | Isometrie T, der Projektion Gamma_sign-><J><=G und den getrennten
000362 | Erweiterungen über ihren jeweils angegebenen Koeffizientenmoduln.
000363 | Die Determinantenklasse verschwindet bereits auf<J>, da det J=1.
000364 | Der frühere nichttriviale zentrale Kokykel von Gamma_sign/Z(Gamma_sign)
000365 | hat eine andere Basisgruppe. Die Klassen werden nicht gleichgesetzt.
000366 |