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000141 | \textbf{Vollständiger Beweis im offenen Bereich.}
000142 | Für $0<q<1/3$ zerfällt der Zweiregisterraum multiplikitätsfrei als
000143 | $H=H_1\oplus H_\varepsilon\oplus H_\sigma$ mit Dimensionen $1,1,2$.
000144 | Seine orthonormale Basis kann als
000145 | \begin{equation}
000146 | \tfrac1{\sqrt2}(1,0,0,1),\quad
000147 | \tfrac1{\sqrt2}(0,1,-1,0),\quad
000148 | \tfrac1{\sqrt2}(1,0,0,-1),\quad
000149 | \tfrac1{\sqrt2}(0,1,1,0)
000150 | \end{equation}
000151 | gewählt werden. Schreibe $P_1,P_\varepsilon,P_\sigma$ für die zugehörigen Projektoren. Der Fixraum von $\Psi_{2,q}$ ist
000152 | $\C P_1\oplus\C P_\varepsilon\oplus\C P_\sigma$; seine extremalen normierten Fixzustände sind $P_1,P_\varepsilon,P_\sigma/2$.
000153 | 
000154 | Angenommen, $\Psi_{2,q}=e^{\mathcal K}$ mit einem beliebigen GKLS-Generator.
000155 | Die Halbgruppe kommutiert mit ihrem Zeitschritt und erhält daher dessen Fixraum. Auf dem Fixzustandssimplex ist sie positiv und spurtreu und nach Zeit eins die Identität. Sie besitzt dort positive Inversen. Solche Simplex-Automorphismen sind Permutationen; Stetigkeit erzwingt die Identität. Also fixiert sie jeden $P_i$ zu jeder Zeit. \emph{Erst daraus} folgt ihre Unitalität. Der Multiplikativitätsbereich fixer Projektoren erhält nun alle neun Räume $\operatorname{Hom}(H_j,H_i)$.
000156 | 
000157 | Auf diesen einzelnen Räumen sind die positiven Spektren einfach:
000158 | \begin{center}
000159 | \begin{tabular}{ll}
000160 | \toprule
000161 | Block & Spektrum\\\midrule
000162 | $11,\varepsilon\varepsilon$ & $1$\\
000163 | $1\varepsilon,\varepsilon1$ & $q$\\
000164 | $1\sigma,\sigma1,\varepsilon\sigma,\sigma\varepsilon$ & $1/3,2/3$\\
000165 | $\sigma\sigma$ & $1,2/3,q,1/3$\\\bottomrule
000166 | \end{tabular}
000167 | \end{center}
000168 | Das volle 16-dimensionale Spektrum ist dagegen degeneriert.
000169 | Blockweise muss $\mathcal K$ deshalb in derselben orthonormalen Eigenbasis diagonal sein. Seine möglichen Logarithmuszweige haben identischen reellen Anteil:
000170 | \begin{equation}
000171 | \tfrac12(\mathcal K+\mathcal K^*)=\log\Psi_{2,q}.
000172 | \end{equation}
000173 | Weil die Halbgruppe unital und spurtreu ist, sind $\mathcal K$ und sein Hilbert--Schmidt-Adjungierter beide GKLS-Generatoren. Auch ihr Mittel muss einer sein.
000174 | 
000175 | Setze $a=\log3$, $b=\log(3/2)$ und $c=-\log q$. Der Hauptlogarithmus hat die fünf Raten
000176 | \begin{equation}
000177 | \gamma_c=\gamma_{c^{-1}}=\frac{a+b-c}{6},\quad
000178 | \gamma_{r_{59}}=\frac{c-2a+2b}{6},\quad
000179 | \gamma_{r_{14}}=\gamma_{r_{13}}=\frac{a-b+c}{6}.
000180 | \end{equation}
000181 | Nach Projektion orthogonal zu $\operatorname{vec}I$ bleiben die anderen fünf Gruppenoperatoren linear unabhängig. Der bedingte Choioperator des Generators ist die Summe ihrer Rang-eins-Formen mit Koeffizienten $\gamma_g$. Seine Positivität ist daher äquivalent zu $\gamma_g\ge0$ für jedes $g\ne e$. Das allgemeine bedingte Choi-Kriterium ist in~\cite{wolfjoint} angegeben; die vorstehende Reduktion aller Logarithmuszweige verwendet die hier nachgerechnete Sektorstruktur.
000182 | 
000183 | Es folgt $2(a-b)\le c\le a+b$, also $2/9\le q\le1/4$.
000184 | Umgekehrt erzeugen genau diese nichtnegativen Raten
000185 | $\mathcal K_N=\sum_{g\ne e}\gamma_g(\operatorname{Ad}_{u_g^{\otimes N}}-\Id)$
000186 | die ganze kompatible Hierarchie. Bei $q=0$ verhindert bereits Nichtinvertierbarkeit eine endliche Generator-Exponentialdarstellung; $q=1/3$ wurde oben ausgeschlossen. Damit ist die Klasse vollständig entschieden.
000187 | 
000188 | Das Ergebnis geht über ein zufälliges Nullgewicht hinaus: Bei $q=3/10$ sind alle sechs Gewichte positiv, beide Choi-Ränge sechs, aber
000189 | $\gamma_{r_{59}}=\log(5/6)/6<0$. Auch dort ist jede zeitunabhängige GKLS-Einbettung auf dem Zweiregisterraum ausgeschlossen.
000190 | 
000191 | \picturetext{Eine Uhr kann für sich allein einen glatten Sekundenzeiger besitzen. Werden zwei Uhren durch dieselben Ereignisse angetrieben, muss auch ihre gemeinsame Reaktion zwischen den angezeigten Schritten passen. Genau diese Forderung schränkt die mögliche Fortsetzung stärker ein.}
000192 | 
000193 | Falls die historische Antwort $FAAF=1/27$ tatsächlich unabhängig auf diese Quelle übertragen wird, verlangt sie $q=1/3$. Die drei Anforderungen \emph{diese Antwort}, \emph{die gemeinsame Ereignisregel} und \emph{eine zeitunabhängige Markovzeit auf denselben endlichen Registern} sind dann unvereinbar. Daraus folgt keine fundamentale Diskretheit der Welt: Eine größere Quelle mit Records, zeitabhängige Ausführung und die vorhandene konforme oder modulare Quellenzeit bleiben möglich.