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000029 | ## 1. Was die Originalquellen tatsächlich voraussetzen
000030 | 
000031 | Die ursprüngliche Nahtrechnung konstruiert den positiven Einzelwindungsschritt auf den ganzzahligen CAR-Moden und seinen eingeschränkten Fock-Implementer nur bis auf eine zentrale Phase; sie führt keinen Halbsektorgenerator (X) ein ([`seam-joint-ward-state-20261014/PROOF.txt`, Zeilen 752–766](../../../seam-joint-ward-state-20261014/PROOF.txt)). Auf Ladungen ist
000032 | 
000033 | \[
000034 |  T_1(p)=Cp+e_0,
000035 |  \qquad C(p_0,\ldots,p_7)=(p_7,p_0,\ldots,p_6),
000036 | \]
000037 | 
000038 | mit (T_1^4(p)=Pp+a) und (T_1^8(p)=p+q) (ebenda, Zeilen 791–811).
000039 | 
000040 | Die tatsächlich passende positive Quelle ist §20 desselben Vertrags: Dort ist die unitäre integrable E8-Level-1-Darstellung auf \(L_s=D_8\cup(D_8+s)\) ausdrücklich **stipuliert**, einschließlich echter unitärer SU(2)-Stromaktionen auf der ganzen Darstellung ([Zeilen 934–959](../../../seam-joint-ward-state-20261014/PROOF.txt)). §21 verwendet den geordneten ursprünglichen CAR-Cocycle, seine explizite Fortsetzung auf \(L_s\) und denselben globalen Transport \(X=E_s\), mit \(X^2=-E_q\) und \(XE_dX^{-1}=(-1)^{s\cdot d}E_d\) für \(d\in D_8\) ([Zeilen 1003–1087](../../../seam-joint-ward-state-20261014/PROOF.txt)). Die Quelle begrenzt das Resultat ausdrücklich auf die gerade D8/E8-Darstellung; odd Z8-Vektorfelder sind dort nicht zugleich lokal eingeschlossen.
000041 | 
000042 | Die ältere [`source-sector-reconstruction-20260920/PROOF.txt`](../../../source-sector-reconstruction-20260920/PROOF.txt) behandelt dagegen \(\Gamma=\mathbb Z^{10}\) mit Signatur (9,1) und einen anderen Halbvektor. Ihre volle Vertex-/Ramondprämisse ist **kein Transportbeweis** in den positiv definiten Achtkanalraum \(\mathbb Z^8+s\). Sie begründet hier weder das SU(8)-Singulett noch die fehlenden odd Intertwiner. Eine Erweiterung auf alle odd Z8-Sektoren muss deren gemeinsame Cocycle-, Adjunktions- und Oszillatordarstellung zusätzlich liefern.
000043 | 
000044 | Die verwendete Vertexfaktorisierung und die Exponentiation von Gewichts-eins-Nullmoden sind für positiv definite gerade Gitter in Dong–Nagatomo, [*Automorphism Groups and Twisted Modules for Lattice Vertex Operator Algebras*, §2.2, §§2.3–2.4](https://arxiv.org/pdf/math/9808088), beschrieben. Diese Primärquelle liefert die Darstellungsformeln; sie identifiziert keine andere physische Quelle mit dem hier stipulierten E8-Lift.
000045 | 
000046 | ## 2. Der konkrete Generatorweg zum Achtzyklus
000047 | 
000048 | Für die sieben einfachen (A_7)-Wurzeln
000049 | 
000050 | \[
000051 |  \alpha_i=e_i-e_{i+1},\qquad i=0,\ldots,6,
000052 | \]
000053 | 
000054 | setze in der Vektordarstellung den tatsächlichen Einparameterweg
000055 | 
000056 | \[
000057 |  n_i(t)=\exp\!\left[t\frac\pi2
000058 |  (E_{i+1,i}-E_{i,i+1})\right].
000059 | \]
000060 | 
000061 | Bei (t=1) ist der nichttriviale Zweierblock
000062 | 
000063 | \[
000064 |  \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},
000065 | \]
000066 | 
000067 | also (\det n_i(t)=1). Mit
000068 | 
000069 | \[
000070 |  R(t)=n_0(t)n_1(t)\cdots n_6(t),
000071 |  \qquad R=R(1)
000072 | \]
000073 | 
000074 | gilt auf der Standardbasis exakt
000075 | 
000076 | \[
000077 |  Re_j=e_{j+1}\quad(0\le j<7),
000078 |  \qquad Re_7=-e_0,
000079 |  \qquad R^8=-I.
000080 | \]
000081 | 
000082 | Der fehlende Endpunktsign ist der U(1)-Torusfaktor. Die beiden konkreten
000083 | Wege zum selben Endpunkt sind
000084 | 
000085 | \[
000086 |  Z_\pm(t)=\exp(\pm i\pi t H_{e_0}),
000087 |  \qquad
000088 |  Z_\pm(1)=Z_{e_0}=\operatorname{diag}(-1,1,\ldots,1).
000089 | \]
000090 | 
000091 | Damit sind
000092 | 
000093 | \[
000094 |  h_\pm(t)=Z_\pm(t)R(t)
000095 | \]
000096 | 
000097 | zwei ausdrücklich angegebene Stromgruppenwege mit (h_\pm(0)=I) und demselben
000098 | Endpunkt, dem tatsächlichen phasenfreien Kanalzyklus,
000099 | 
000100 | \[
000101 |  \boxed{C=Z_{e_0}R},
000102 |  \qquad C^4=P,
000103 |  \qquad C^8=I.
000104 | \]
000105 | 
000106 | Dies ist eine konkrete Stromgruppenzerlegung desselben (C), nicht die Wahl
000107 | eines unbestimmten Matrixlogarithmus und nicht bloß eine Permutation von
000108 | Ladungslabels. Der Test betrifft den linearen Zyklusfaktor im bereits festen
000109 | affinen Winding (T_1(p)=Cp+e_0); der Ladungscarry (e_0) wird nicht ersetzt.
000110 | 
000111 | ## 3. Warum der Ramond-Halbzustand skalar transformiert
000112 | 
000113 | Für jede einfache Wurzel gilt
000114 | 
000115 | \[
000116 |  \alpha_i\cdot s=0.
000117 | \]
000118 | 
000119 | Im angenommenen Lattice-Vertexmodul folgt daher
000120 | 
000121 | \[
000122 |  H_{\alpha_i,0}|s\rangle=0.
000123 | \]
000124 | 
000125 | Auch die beiden Wurzelnullmoden annihilieren den Zustand. Denn im OPE von (J_{\pm\alpha_i}(z)) mit (V_s(0)) ist der führende Potenzfaktor
000126 | 
000127 | \[
000128 |  z^{\pm\alpha_i\cdot s}=z^0.
000129 | \]
000130 | 
000131 | Für ein Gewicht-eins-Stromfeld ist der Nullmodenkoeffizient der (z^{-1})-Term; ein solcher Term fehlt hier. Deshalb annihilieren die drei (\mathfrak{su}(2))-Generatoren jeder einfachen Wurzel (|s\rangle). Der gesamte durch die (n_i)-Wege erzeugte (SU(8))-Faktor (R) fixiert (|s\rangle) exakt.
000132 | 
000133 | Dieser Zustandsbefund allein ist noch keine Gleichung für den globalen unitären X. Die erforderliche Brücke folgt direkt aus den festen Wurzelströmen. Für \(\alpha=e_i-e_j\) gilt auf demselben Raum
000134 | 
000135 | \[
000136 |  J_\alpha(z)=\mathcal E^-_\alpha(z)\mathcal E^+_\alpha(z)
000137 |  E_\alpha z^{\alpha\cdot H_0},
000138 | \]
000139 | 
000140 | wobei Oszillatorfaktoren, Gruppenalgebra-/Kleinoperator \(E_\alpha\) und Cocycle genau diejenigen der festgelegten E8-Fockdarstellung sind. Der globale X ist hier der **Gruppenalgebra-Ladungstransport** \(E_s\), tensoriert mit der Identität auf den Heisenberg-Oszillatoren. Das vollständige Feld \(Y(s,z)\) enthält zusätzliche Oszillator- und Nullmodenfaktoren und ist nicht X.
000141 | 
000142 | Für jede dieser Wurzeln ist \(Q(\alpha)=\alpha\cdot s=0\). Daher liefern die gegebene Cocyclerelation und die Ladungswirkung
000143 | 
000144 | \[
000145 |  [X,E_\alpha]=0,\qquad
000146 |  [X,z^{\alpha\cdot H_0}]=0,\qquad
000147 |  [X,\mathcal E^\pm_\alpha(z)]=0.
000148 | \]
000149 | 
000150 | Somit kommutiert X mit jedem Koeffizienten \(J_{\alpha,m}\), insbesondere mit den kompakten Nullmodengeneratoren der sieben SU(2)-Wege. Dies ist eine Rechnung mit demselben Wurzelcocycle, keine Identifikation gleich großer Zustandsräume. Auf der dichten gemeinsamen Domäne der endlichen Ladungs-/Oszillatorzustände sind alle Faktoren definiert, und die Domäne wird durch X und die Strommoden erhalten. Die stipulierte unitäre Integrabilität liefert die echten kompakten Gruppenaktionen. Ihre Nullmoden erhalten die endlichen konformen Gewichtsräume; die dortigen Vektoren sind analytisch. Da X ein beschränkter unitärer Ladungstransport ist und mit den Generatoren auf diesem Kern kommutiert, gilt die Kommutation auch mit ihren unitären Exponentialen:
000151 | 
000152 | \[
000153 |  [X,R(t)]=0.
000154 | \]
000155 | 
000156 | Der feste Torusoperator erfüllt unabhängig davon
000157 | 
000158 | \[
000159 |  Z_\pm(t)X Z_\pm(t)^{-1}
000160 |  =e^{\pm i\pi t e_0\cdot s}X
000161 |  =e^{\pm i\pi t/2}X.
000162 | \]
000163 | 
000164 | Für die so gebildeten Stromgruppenhebungen \(\widehat C_\pm=Z_\pm(1)\widehat R\) folgt daher als **globale Operatorgleichung auf dem gegebenen E8-Raum**
000165 | 
000166 | \[
000167 |  \widehat C_\pm X\widehat C_\pm^{-1}=\pm iX.
000168 | \]
000169 | 
000170 | Die gradingabhängigen Operatoren
000171 | 
000172 | \[
000173 |  \widehat C_r|n,c\rangle
000174 |  =\gamma(n)\zeta_8^{rc}|Cn,c\rangle
000175 | \]
000176 | 
000177 | mit ungeradem (r) aus der T1-Fortsetzung sind gültige Darstellungen der diskreten gekreuzten Algebra. Ihre Konjugationsphase auf X hängt jedoch vom Eingangsgrad ab. Sie stimmen daher nicht mit dieser aus denselben Wurzelströmen und demselben Torus gebildeten zusammenhängenden Stromgruppenhebung überein. Das ist der zusätzliche Auswahlgehalt der stipulierten E8-Stromdarstellung. Ohne diese Identifikation der Stromgruppe bleiben sie gültige Gegenmodelle.
000178 |