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000176 | \quad |c|^2\le ab.
000177 | \]
000178 | 
000179 | Die duale Sektorwirkung ist
000180 | 
000181 | \[
000182 | \Gamma=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.
000183 | \]
000184 | 
000185 | Aus (\Gamma\rho\Gamma=\rho) folgt nur (c=0). Somit bleibt
000186 | 
000187 | \[
000188 | \rho_a=\operatorname{diag}(a,1-a),\qquad 0\le a\le1.
000189 | \]
000190 | 
000191 | Energie-null plus duale Invarianz liefert also keine eindeutige Dichte.
000192 | 
000193 | ## 4. Warum die kanonische Erwartung auf der kleinen Algebra trotzdem eindeutig aussieht
000194 | 
000195 | Sei zunächst nur die algebraische Verschiebungsalgebra gegeben,
000196 | 
000197 | \[
000198 | \mathcal A_{\rm shift}
000199 | =\operatorname{span}\{E_nX^c:n\in\mathbb Z^8, c=0,1\}.
000200 | \]
000201 | 
000202 | Die duale Wirkung ist (+1) auf (c=0) und (-1) auf (c=1). Ihre
000203 | Grad-null-Erwartung ist
000204 | 
000205 | \[
000206 | \mathcal E_0(E_nX^c)=
000207 | \begin{cases}
000208 | E_n,&c=0,\\
000209 | 0,&c=1.
000210 | \end{cases}
000211 | \]
000212 | 
000213 | Mit der Ganzgitter-Vakuumrestriktion
000214 | (\omega_0(E_n)=\delta_{n,0}) ist
000215 | 
000216 | \[
000217 | \widetilde\omega=\omega_0\circ\mathcal E_0
000218 | \]
000219 | 
000220 | der eindeutige dual-invariante Fortsetzungsfunktional mit dieser
000221 | Restriktion. Das ist die bereits im Suchvertrag angegebene algebraische
000222 | Eindeutigkeit.
000223 | 
000224 | Sie ist aber keine eindeutige Dichtematrix auf (D). Jede (\rho_a) liefert
000225 | 
000226 | \[
000227 | \operatorname{Tr}(\rho_a E_nX^c)
000228 | =\delta_{n,0}\delta_{c,0}.
000229 | \]
000230 | 
000231 | Die Algebra kann ihre verschiedenen diagonalen Repräsentationsdichten nicht
000232 | unterscheiden. Ohne duale Invarianz würden Kohärenzen über die Verschiebung
000233 | zwischen (0) und (r_0) sichtbar. Die kanonische Erwartung beweist daher eine
000234 | eindeutige **kleine-Algebra-Fortsetzung**, nicht die Auswahl eines eindeutigen
000235 | physischen Grundvektors.
000236 | 
000237 | ## 5. Die vorhandene (R_c)-Wirkung macht die Alternativen messerscharf
000238 | 
000239 | Der vorhandene affine Operator hebt
000240 | 
000241 | \[
000242 | \rho(p)=Pp+r_0
000243 | \]
000244 | 
000245 | an. Er erfüllt (\rho^2=1), erhält (K,Q) und vertauscht (0\leftrightarrow r_0)
000246 | ([`seam-joint-ward-state-20261014/PROOF.txt`, Zeilen 820–832](../../../seam-joint-ward-state-20261014/PROOF.txt)). Sein tatsächlicher globaler Stromgruppenlift vertauscht die beiden Grundvektoren bis auf feste Phasen und ist ausdrücklich kein vakuumerhaltender VOA-Automorphismus (ebenda, Zeilen 934–993). Der angepasste (R_c)-Lift besitzt dieselbe Ladungswirkung und (R_c^2=1) (Zeilen 1070–1077).
000247 | 
000248 | Nach einer harmlosen Basisrephasierung gilt auf (D)
000249 | 
000250 | \[
000251 | R_c=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},
000252 | \qquad
000253 | \Gamma R_c=-R_c\Gamma.
000254 | \]
000255 | 
000256 | Dual-Invarianz macht (\rho) diagonal; (R_c)-Invarianz vertauscht danach die
000257 | beiden Diagonaleinträge. Gemeinsam folgt eindeutig
000258 | 
000259 | \[
000260 | \rho_{\Gamma,R_c}=\frac12I_2.
000261 | \]
000262 | 
000263 | Das ist ein exakter bedingter Selektor, aber keine Quellenherleitung:
000264 | Physische (R_c)-Invarianz des Zustands ist nirgends gegeben. Sie darf nicht
000265 | aus ([K,R_c]=0) gefolgert werden.
000266 | 
000267 | ## 6. Cartan-Erweiterung und lokale VOA
000268 | 
000269 | Sobald die ursprünglichen Cartan-Nullmoden in der Algebra erhalten werden,
000270 | ist die Blindheit vorbei. Auf (D) gilt
000271 | 
000272 | \[
000273 | H_{r_0,0}=\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}.
000274 | \]
000275 | 
000276 | Die ursprüngliche Ganzgitter-Vakuumrestriktion enthält die vollständigen
000277 | Cartan-Wardwerte (\langle H_{i,0}\rangle=0). Daher
000278 | 
000279 | \[
000280 | 0=\operatorname{Tr}(\rho H_{r_0,0})=2b.
000281 | \]
000282 | 
000283 | Also ist (b=0); Positivität erzwingt dann (c=0), und
000284 | 
000285 | \[
000286 | \boxed{\rho=|0\rangle\langle0|}.
000287 | \]
000288 | 
000289 | Der zugleich dual- und (R_c)-invariante Zustand (I_2/2) hat dagegen
000290 | (\langle H_{r_0,0}\rangle=1). Es gibt somit keinen normalen
000291 | Grundzustand, der gleichzeitig die vollständige originale
000292 | Cartan-Vakuumrestriktion und (R_c)-Invarianz erfüllt. Diese Unvereinbarkeit