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000203 | \subsection{Die Vierer- und Sechsergeometrie gehören zu demselben Überlagerungsproblem}\label{sec:flavorcover}
000204 | \textbf{Zunächst lässt sich die bisher numerische Fuchs-Monodromie analytisch schließen.}
000205 | Das ursprüngliche System aus v117 ist $\Psi'=A(z)\Psi$, mit
000206 | \begin{equation}
000207 | A(z)=\sum_{k=0}^3\frac{U^kA_0U^{-k}}{z-i^k},\qquad
000208 | A_0=\begin{pmatrix}
000209 | 1/2&\sqrt2/6&0\\
000210 | \sqrt2/6&1/4&\sqrt5/12\\
000211 | 0&\sqrt5/12&1/4
000212 | \end{pmatrix},\qquad U=\diag(1,i,-i).
000213 | \end{equation}
000214 | Die Substitution $x=z^4$, $\Psi(z)=\diag(1,z,z^3)v(x)$ liefert exakt
000215 | \begin{equation}
000216 | \frac{dv}{dx}=\left(\frac{B_0}{x}+\frac{B_1}{x-1}\right)v,\qquad
000217 | B_0=\begin{pmatrix}
000218 | 0&0&0\\-\sqrt2/6&-1/4&0\\0&-\sqrt5/12&-3/4
000219 | \end{pmatrix},\quad B_1=A_0,
000220 | \end{equation}
000221 | und
000222 | \begin{equation}
000223 | B_\infty=-B_0-B_1
000224 | =\begin{pmatrix}
000225 | -1/2&-\sqrt2/6&0\\0&0&-\sqrt5/12\\0&0&1/2
000226 | \end{pmatrix}.
000227 | \end{equation}
000228 | Die lokalen Exponenten bei $0,1,\infty$ sind somit
000229 | $(0,-1/4,-3/4)$, $(0,1/3,2/3)$ und $(-1/2,0,1/2)$.
000230 | 
000231 | Bei $\infty$ muss die ganzzahlige Exponentendifferenz geprüft werden; die Eigenwerte allein genügen dort nicht. Mit
000232 | \begin{equation}
000233 | S_\infty=\begin{pmatrix}
000234 | 1&-\sqrt2/3&\sqrt{10}/36\\
000235 | 0&1&-\sqrt5/6\\0&0&1
000236 | \end{pmatrix},\qquad
000237 | D_\infty=S_\infty^{-1}B_\infty S_\infty
000238 | =\diag(-1/2,0,1/2)
000239 | \end{equation}
000240 | lautet das System in $t=1/x$:
000241 | \begin{equation}
000242 | \frac{D_\infty}{t}+\frac{C_\infty}{1-t},
000243 | \qquad C_\infty=-S_\infty^{-1}A_0S_\infty,\qquad
000244 | (C_\infty)_{31}=0.
000245 | \end{equation}
000246 | Für eine lokale Lösung $H(t)t^{D_\infty}$, $H_0=I$, ist die Rekursion
000247 | \begin{equation}
000248 | (n-\operatorname{ad}D_\infty)H_n
000249 | =C_\infty\sum_{j=0}^{n-1}H_j.
000250 | \end{equation}
000251 | Nur $n=1$, Eintrag $(3,1)$, ist resonant. Genau dort verschwindet die rechte Seite; bei $n\ge2$ ist der Rekursionsoperator invertierbar. Es entsteht kein logarithmischer Jordananteil. Die drei lokalen Monodromien haben deshalb tatsächlich die Ordnungen $4,3,2$.
000252 | 
000253 | Ihr Bild ist ein Quotient der endlichen sphärischen Dreiecksgruppe $\Delta(4,3,2)\cong S_4$. Ein echter Quotient von $S_4$ besitzt kein Element der Ordnung vier. Das Bild ist daher treu; seine dreidimensionale Darstellung ist irreduzibel. Die Determinante eins wählt die Rotationsdarstellung, also die Standarddarstellung mal Vorzeichencharakter.
000254 | 
000255 | Die Markierung stimmt ebenfalls: Aus der Quadratäquivarianz folgt bei $\Psi(0)=I$ die Identität $\Psi(iz)=U\Psi(z)U^{-1}$. Die positive $x=0$-Schleife wirkt deshalb mit $U^{-1}$. Die exakten Zielmatrizen erfüllen $(MU^{-1})^2=I$. Das markierte Paar ist somit analytisch bis auf gemeinsamen Basiswechsel bestimmt. Weil $U$ drei verschiedene Eigenwerte hat, ist ein noch verbleibender Basiswechsel diagonal; insbesondere folgen
000256 | \begin{equation}
000257 | \boxed{\diag M=(0,-i/2,+i/2),\qquad |M_{22}|=\tfrac12}
000258 | \end{equation}
000259 | ohne ODE-Numerik. Die genaue gedruckte Offdiagonal-Vorzeichenfassung legt eine Basiszeichenkonvention fest. Der Betrag $1/2$ ist ein Monodromiedatum und nicht der kontinuierliche Transportpol $\delta_{\rm ph}$.
000260 | 
000261 | \textbf{Auf der ursprünglichen $z$-Ebene erzeugen die vier Punkturmonodromien $A_4$ mit zwölf Elementen.} Erst die zusätzliche Quadratrotation erweitert das Paket zu $S_4$ mit 24 Elementen. Diese Unterscheidung ist für die Deckfläche wichtig. Die Reduktion, der Resonanzkoeffizient und die Gruppenrelation wurden unabhängig exakt gegengeprüft; der Beweis ist nicht als neuer Lean-Beweis ausgegeben.
000262 | 
000263 | Für die exakten Originalmatrizen aus v117 gibt es den unitären Basiswechsel
000264 | \begin{equation}
000265 | \begin{aligned}
000266 | F&=\begin{pmatrix}
000267 | 1&0&0\\
000268 | 0&-(1+i)/2&(-1+i)/2\\
000269 | 0&(1-i)/2&(1+i)/2
000270 | \end{pmatrix},\\
000271 | F^\dagger MF&=P_c=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},
000272 | \qquad
000273 | F^\dagger UF=R_c=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}.
000274 | \end{aligned}
000275 | \end{equation}
000276 | Die vier lokalen Monodromien $U^kMU^{-k}$ sind damit signierte Permutationsmatrizen. Ihre Permutationsanteile sind abwechselnd $P_c,P_c^{-1},P_c,P_c^{-1}$. Genau diese Verzweigung an $z=1,i,-1,-i$ realisiert die dreiblättrige Kurve
000277 | \begin{equation}\label{eq:flavorg2}
000278 | w^3=\frac{z^2-1}{z^2+1},
000279 | \qquad
000280 | \eta=z(1-w^3)
000281 | \quad\Longrightarrow\quad
000282 | \boxed{\eta^2=1-w^6.}
000283 | \end{equation}
000284 | Die Riemann--Hurwitz-Rechnung ist $2g-2=3(-2)+4(3-1)=2$, also $g=2$. Die sechs hyperelliptischen Verzweigungspunkte sind genau $\mu_6$. Die verbleibenden Vorzeichen der Monodromiematrizen sind Daten eines Linienlokalsystems auf dieser Kurve. Die Kurve allein enthält sie noch nicht.
000285 | 
000286 | Die ursprüngliche Quadratrotation hebt ausdrücklich zu
000287 | \begin{equation}
000288 | r:(w,\eta)\longmapsto
000289 | \left(\frac1w,-\frac{i\eta}{w^3}\right),\qquad
000290 | r^2(w,\eta)=(w,-\eta),\quad r^4=I.