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000203 | \subsection{Die Vierer- und Sechsergeometrie gehören zu demselben Überlagerungsproblem}\label{sec:flavorcover}
000204 | \textbf{Zunächst lässt sich die bisher numerische Fuchs-Monodromie analytisch schließen.}
000205 | Das ursprüngliche System aus v117 ist $\Psi'=A(z)\Psi$, mit
000206 | \begin{equation}
000207 | A(z)=\sum_{k=0}^3\frac{U^kA_0U^{-k}}{z-i^k},\qquad
000208 | A_0=\begin{pmatrix}
000209 | 1/2&\sqrt2/6&0\\
000210 | \sqrt2/6&1/4&\sqrt5/12\\
000211 | 0&\sqrt5/12&1/4
000212 | \end{pmatrix},\qquad U=\diag(1,i,-i).
000213 | \end{equation}
000214 | Die Substitution $x=z^4$, $\Psi(z)=\diag(1,z,z^3)v(x)$ liefert exakt
000215 | \begin{equation}
000216 | \frac{dv}{dx}=\left(\frac{B_0}{x}+\frac{B_1}{x-1}\right)v,\qquad
000217 | B_0=\begin{pmatrix}
000218 | 0&0&0\\-\sqrt2/6&-1/4&0\\0&-\sqrt5/12&-3/4
000219 | \end{pmatrix},\quad B_1=A_0,
000220 | \end{equation}
000221 | und
000222 | \begin{equation}
000223 | B_\infty=-B_0-B_1
000224 | =\begin{pmatrix}
000225 | -1/2&-\sqrt2/6&0\\0&0&-\sqrt5/12\\0&0&1/2
000226 | \end{pmatrix}.
000227 | \end{equation}
000228 | Die lokalen Exponenten bei $0,1,\infty$ sind somit
000229 | $(0,-1/4,-3/4)$, $(0,1/3,2/3)$ und $(-1/2,0,1/2)$.
000230 | 
000231 | Bei $\infty$ muss die ganzzahlige Exponentendifferenz geprüft werden; die Eigenwerte allein genügen dort nicht. Mit
000232 | \begin{equation}
000233 | S_\infty=\begin{pmatrix}
000234 | 1&-\sqrt2/3&\sqrt{10}/36\\
000235 | 0&1&-\sqrt5/6\\0&0&1
000236 | \end{pmatrix},\qquad
000237 | D_\infty=S_\infty^{-1}B_\infty S_\infty
000238 | =\diag(-1/2,0,1/2)
000239 | \end{equation}
000240 | lautet das System in $t=1/x$:
000241 | \begin{equation}
000242 | \frac{D_\infty}{t}+\frac{C_\infty}{1-t},
000243 | \qquad C_\infty=-S_\infty^{-1}A_0S_\infty,\qquad
000244 | (C_\infty)_{31}=0.
000245 | \end{equation}
000246 | Für eine lokale Lösung $H(t)t^{D_\infty}$, $H_0=I$, ist die Rekursion
000247 | \begin{equation}
000248 | (n-\operatorname{ad}D_\infty)H_n
000249 | =C_\infty\sum_{j=0}^{n-1}H_j.
000250 | \end{equation}
000251 | Nur $n=1$, Eintrag $(3,1)$, ist resonant. Genau dort verschwindet die rechte Seite; bei $n\ge2$ ist der Rekursionsoperator invertierbar. Es entsteht kein logarithmischer Jordananteil. Die drei lokalen Monodromien haben deshalb tatsächlich die Ordnungen $4,3,2$.
000252 | 
000253 | Ihr Bild ist ein Quotient der endlichen sphärischen Dreiecksgruppe $\Delta(4,3,2)\cong S_4$. Ein echter Quotient von $S_4$ besitzt kein Element der Ordnung vier. Das Bild ist daher treu; seine dreidimensionale Darstellung ist irreduzibel. Die Determinante eins wählt die Rotationsdarstellung, also die Standarddarstellung mal Vorzeichencharakter.
000254 | 
000255 | Die Markierung stimmt ebenfalls: Aus der Quadratäquivarianz folgt bei $\Psi(0)=I$ die Identität $\Psi(iz)=U\Psi(z)U^{-1}$. Die positive $x=0$-Schleife wirkt deshalb mit $U^{-1}$. Die exakten Zielmatrizen erfüllen $(MU^{-1})^2=I$. Das markierte Paar ist somit analytisch bis auf gemeinsamen Basiswechsel bestimmt. Weil $U$ drei verschiedene Eigenwerte hat, ist ein noch verbleibender Basiswechsel diagonal; insbesondere folgen
000256 | \begin{equation}
000257 | \boxed{\diag M=(0,-i/2,+i/2),\qquad |M_{22}|=\tfrac12}
000258 | \end{equation}
000259 | ohne ODE-Numerik. Die genaue gedruckte Offdiagonal-Vorzeichenfassung legt eine Basiszeichenkonvention fest. Der Betrag $1/2$ ist ein Monodromiedatum und nicht der kontinuierliche Transportpol $\delta_{\rm ph}$.
000260 | 
000261 | \textbf{Auf der ursprünglichen $z$-Ebene erzeugen die vier Punkturmonodromien $A_4$ mit zwölf Elementen.} Erst die zusätzliche Quadratrotation erweitert das Paket zu $S_4$ mit 24 Elementen. Diese Unterscheidung ist für die Deckfläche wichtig. Die Reduktion, der Resonanzkoeffizient und die Gruppenrelation wurden unabhängig exakt gegengeprüft; der Beweis ist nicht als neuer Lean-Beweis ausgegeben.
000262 | 
000263 | Für die exakten Originalmatrizen aus v117 gibt es den unitären Basiswechsel
000264 | \begin{equation}
000265 | \begin{aligned}
000266 | F&=\begin{pmatrix}
000267 | 1&0&0\\
000268 | 0&-(1+i)/2&(-1+i)/2\\
000269 | 0&(1-i)/2&(1+i)/2
000270 | \end{pmatrix},\\
000271 | F^\dagger MF&=P_c=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},
000272 | \qquad
000273 | F^\dagger UF=R_c=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}.
000274 | \end{aligned}
000275 | \end{equation}
000276 | Die vier lokalen Monodromien $U^kMU^{-k}$ sind damit signierte Permutationsmatrizen. Ihre Permutationsanteile sind abwechselnd $P_c,P_c^{-1},P_c,P_c^{-1}$. Genau diese Verzweigung an $z=1,i,-1,-i$ realisiert die dreiblättrige Kurve
000277 | \begin{equation}\label{eq:flavorg2}
000278 | w^3=\frac{z^2-1}{z^2+1},
000279 | \qquad
000280 | \eta=z(1-w^3)
000281 | \quad\Longrightarrow\quad
000282 | \boxed{\eta^2=1-w^6.}
000283 | \end{equation}
000284 | Die Riemann--Hurwitz-Rechnung ist $2g-2=3(-2)+4(3-1)=2$, also $g=2$. Die sechs hyperelliptischen Verzweigungspunkte sind genau $\mu_6$. Die verbleibenden Vorzeichen der Monodromiematrizen sind Daten eines Linienlokalsystems auf dieser Kurve. Die Kurve allein enthält sie noch nicht.
000285 | 
000286 | Die ursprüngliche Quadratrotation hebt ausdrücklich zu
000287 | \begin{equation}
000288 | r:(w,\eta)\longmapsto
000289 | \left(\frac1w,-\frac{i\eta}{w^3}\right),\qquad
000290 | r^2(w,\eta)=(w,-\eta),\quad r^4=I.
000291 | \end{equation}
000292 | Auch der Sechserzyklus ist auf derselben Kurve vorhanden. Für $\omega=e^{2\pi i/3}$ setze
000293 | \begin{equation}
000294 | c(w,\eta)=(\omega w,\eta),\qquad
000295 | s(w,\eta)=(-w,\eta).
000296 | \end{equation}
000297 | Die sechs Punkte lassen sich als $p_a=\omega^a$, $q_a=-\omega^a$ ordnen. In diesem Punktlabelraum wirken
000298 | \begin{equation}
000299 | c=\diag(P_c,P_c),\qquad
000300 | s=\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix},\qquad T=sc.
000301 | \end{equation}
000302 | Der explizite unitäre Intertwiner
000303 | \begin{equation}
000304 | J_{\rm pts}=\frac1{\sqrt2}
000305 | \begin{pmatrix}F^\dagger&F^\dagger\\F^\dagger&-F^\dagger\end{pmatrix}
000306 | \end{equation}
000307 | erfüllt
000308 | \begin{equation}\label{eq:pointhexagon}
000309 | \boxed{J_{\rm pts}^\dagger TJ_{\rm pts}=M\oplus(-M),\qquad
000310 | J_{\rm pts}^\dagger sJ_{\rm pts}=\diag(I,-I).}
000311 | \end{equation}
000312 | Damit ist der endliche Sechseroperator ein tatsächlicher markierter Punkttransport. Er wurde nicht aus der Zahl sechs erraten.
000313 | 
000314 | \begin{center}
000315 | \begin{tikzpicture}[node distance=7mm]
000316 | \node[box,text width=12.8cm] (q) {\textbf{Originales Quadrat}\quad $1,i,-1,-i$\\drei Familien; signierte lokale Monodromie};
000317 | \node[box,below=of q,text width=12.8cm] (g) {\textbf{Dieselbe Deckkurve}\quad $w^3=(z^2-1)/(z^2+1)$\\zwei Henkel; Vorzeichen-Linienlokalsystem mitführen};
000318 | \node[box,below=of g,text width=12.8cm] (h) {\textbf{Zweite Ansicht}\quad $\eta^2=1-w^6$\\sechs Verzweigungspunkte; $M\oplus(-M)$ als Punkttransport};
000319 | \node[box,below=of h,text width=12.8cm] (f) {\textbf{Noch zu identifizierende Feldwirkung}\\derselbe Transport auf geladenen Defekten, ihrem Zustand und den vollständigen Antworten};
000320 | \draw[arr] (q)--(g);\draw[arr] (g)--(h);\draw[dasharr] (h)--(f);
000321 | \end{tikzpicture}
000322 | \end{center}
000323 | 
000324 | \picturetext{Vier Marken, drei Blätter und sechs ausgezeichnete Punkte können Ansichten derselben geometrischen Konstruktion sein. Die mitgeführten Vorzeichen sind dabei wie zusätzliche Anweisungen auf den Blättern: Das Drehen der Zeichnung genügt noch nicht, um die Feldoperation richtig zu drehen.}
000325 | 
000326 | Insbesondere ist $s$ nicht die hyperelliptische Involution. Letztere fixiert alle sechs Verzweigungspunkte; $s$ vertauscht die beiden Dreierbahnen und induziert $z\mapsto1/z$. Der hier bewiesene Punktintertwiner darf deshalb weder als Feldintertwiner noch als Ableitung des ursprünglichen Nahtprojektors ausgegeben werden.
000327 | 
000328 | \subsection{Der Sechsertransport entsteht aus zwei ursprünglichen Halbwegen}\label{sec:pathclock}
000329 | \textbf{Ein globaler Inversionsautomorphismus des einzelnen Flachbündels ist hierfür nicht nötig.}
000330 | Wähle einen regulären Ausgangspunkt $x\in(0,1)$ und setze $x'=1/x$.
000331 | Der Kreis mit Mittelpunkt $a=(x+x')/2$ und Radius $r=(x'-x)/2$ erfüllt
000332 | $a^2-r^2=1$ und ist unter $\iota(z)=1/z$ invariant. Sein unterer Halbkreis $p$ führt von $x$ nach $x'$. Der Bildweg $\iota p$ führt auf dem oberen Halbkreis zurück. Zusammen umlaufen sie $+1$ genau einmal positiv. Der ganze Kreis liegt im rechten Halbplan und umschließt keine weitere Fuchs-Punktur.
000333 | 
000334 | Seien $P=\operatorname{PT}(p):E_x\to E_{x'}$ und
000335 | $Q=\operatorname{PT}(\iota p):E_{x'}\to E_x$ die tatsächlichen Paralleltransporte der ursprünglichen Verbindung. Dann gilt
000336 | \begin{equation}
000337 | QP=M_x,\qquad PQ=PM_xP^{-1}.
000338 | \end{equation}
000339 | Die endliche Monodromie besitzt eine positive invariante hermitesche Form, etwa durch Mittelung einer positiven Form über ihre endliche Gruppe. Paralleltransport setzt sie zur flachen Fasermetrik fort. Wählt man den Rahmen bei $x'$ durch Transport des orthonormalen Rahmens bei $x$, so erhält man
000340 | \begin{equation}\label{eq:pathT}