TFPT scientific source excerpt Original repository path: experiments/theory-contracts/global-g31-lattice-lift-20261023/THEOREMS.txt Original file SHA-256: a5db41f218483476fe623f0fc7353df5bfabf5f79af4a3eda58d7e05e0715fc0 Inclusive original lines: 175-296 Line numbers below refer to the original source. This bounded excerpt is source evidence; it is not a new proof/checker run. Conversation metadata and personal execution details are omitted where indicated. 000175 | 5. Genaues Klassifikationsproblem der62 Clockobjekte 000176 | 000177 | Die62 ursprünglichen Objekte sind Paare(r,C) modulo G Konjugation mit 000178 | C exakter Ordnung4 und(rC)^4=1. Sie entsprechen Darstellungen 000179 | Pi=C4*C4= durch a->C,b->rC. 000180 | Die vier Meridiane sind gamma_j=a^j b a^(-j-1); ihr Produkt ist1. 000181 | Gehoben wird in die ursprüngliche Gruppe Gtilde, nicht in die zentrale 000182 | Determinantenerweiterung. Zwei Lifts sind äquivalent durch gleichzeitige 000183 | Konjugation in Gtilde über einer zulässigen G Konjugation des Grundobjekts. 000184 | 000185 | Jeder der beiden angehobenen Generatoren besitzt einen8 Bit Vektor l_s. 000186 | Für seinen Matrixteil M und seine kanonische Phase h lautet die vierte 000187 | Potenz auf einem Argument x 000188 | sum_(j=0)^3 h(M^j x) + l.(I+M+M^2+M^3)x. 000189 | Der Matrixteil ist I; diese Potenzphase ist ein Charakter. Es genügt 000190 | daher, die acht Basisargumente einzusetzen. So entsteht ein vollständiges 000191 | affines Gleichungssystem in16 Variablen. Sämtliche Lösungen werden berechnet. 000192 | 000193 | Ergebnis für jede ursprüngliche Grundklasse: 000194 | Grundklasse Clockklassen basierte Lifts je Clockklasse 000195 | 0 44 65536 000196 | 12 15 65536 000197 | 15 3 16384. 000198 | Alle62 Systeme sind lösbar. Im dritten Fall hat das Potenzsystem Rang2, 000199 | in den übrigen Fällen Rang0. Jede Lösung definiert tatsächlich einen 000200 | Homomorphismus aus C4*C4, denn dies sind dessen einzigen Relationen. 000201 | Damit ist die Existenzbehauptung von SatzII konstruktiv bewiesen. 000202 | 000203 | 6. Vollständige Normalformen und unbasierte Klassifikation 000204 | 000205 | Die folgende Rechnung gilt zugleich für zwei konische Generatoren und 000206 | für drei freie Generatoren. Sei v=(l_1,...,l_k) in F2^(8k). 000207 | Konjugation durch einen Kernelcharakter alpha übersetzt v um 000208 | d(alpha)_s=(I+M_s^t)alpha. 000209 | Dies ist der übliche Raum der1 Koränder. Sei T dessen Bild. 000210 | Eine festgelegte binäre Zeilenreduktion liefert eine eindeutige Reduktion 000211 | red_T(v) jedes T Nebenraums, auch auf dem affinen Potenzlösungsraum S. 000212 | 000213 | Nach Festlegen des ursprünglichen Monodromievertreters bleiben genau die 000214 | h in Z_G(g_1,...,g_k) als Basiswechsel. Sei P=M_h. Ein beliebiger Lift 000215 | von h mit Kernelkoordinate alpha wirkt durch 000216 | l_s' = P^(-t)[l_s+(I+M_s^t)alpha+t(h,g_s)], 000217 | t(h,g_s)_i=h_h(M_s e_i)+h_s(P e_i). 000218 | Beweis: phi_h phi_s=phi_s' phi_h auf jedem Basisargument auswerten. 000219 | Nach Quotientieren durch T entfällt alpha. Die verbleibende affine 000220 | Zentralisatorwirkung ist dadurch vollständig und explizit angegeben. 000221 | 000222 | Eine vollständige kanonische Normalform ist 000223 | (ursprünglicher Monodromievertreter, 000224 | min_lex {red_T(h.v): h im gemeinsamen Zentralisator}). 000225 | Für Clockobjekte wird der kanonische Clockvertreter mitgeführt. 000226 | Notwendigkeit folgt aus der eben berechneten Wirkung. Hinlänglichkeit 000227 | folgt daraus, dass jede verwendete Translation oder Zentralisatorwirkung 000228 | von einer tatsächlichen Konjugation in Gtilde stammt. Damit klassifizieren 000229 | die Normalformen genau die verlangten Isomorphismen. 000230 | 000231 | quarter_lifts.py enumeriert diese Normalformen für alle62 ursprünglichen 000232 | Clockklassen vollständig. quarter-lifts.json enthält jede einzelne der 000233 | 11356 Normalformen und ihre Automorphismenordnung. Die Summen lauten 000234 | 6856 +4272 +228 =11356. 000235 | Vor dem letzten Zentralisatorquotienten liegt für jede Clockklasse ein 000236 | Torsor über H1(Pi,A) vor. Seine Größen und alle weiteren Quotienten stehen 000237 | in CLOCK_LIFTS.tsv. Die vorhandene nichttriviale Modulwirkung bleibt erhalten. 000238 | 000239 | Die Stabilisatorordnung eines Clocklifts ist exakt 000240 | 256*|Z_G(r,C)| / (|T|*|Orbit in S/T|). 000241 | Auch diese Ordnungen sind für sämtliche Normalformen ausgegeben. 000242 | 000243 | 7. Zweiter unabhängiger Zählweg und alle17 freien Monodromien 000244 | 000245 | Für Burnside kann die Summe über die256 Kernelcharaktere zusammengefasst 000246 | werden. Fixiere h im gemeinsamen Zentralisator und schreibe P=M_h. 000247 | Ein Lift v wird von einem Lift(h,alpha) fixiert genau dann, wenn 000248 | (I+P^t)l_s+(I+M_s^t)alpha=t(h,g_s) 000249 | für alle s gilt. Hinzu kommen gegebenenfalls die konischen Potenzgleichungen. 000250 | Dies ist ein affines binäres System in8(k+1) Variablen(v,alpha). 000251 | Es besitzt entweder0 oder2^(8(k+1)-Rang) Lösungen. Also lautet die 000252 | Isomorphieklassenzahl 000253 | [sum_(h im Zentralisator) Anzahl Lösungen(v,alpha)] 000254 | / [256*|Zentralisator|]. 000255 | Dies ist Burnside für das volle Urbild des Zentralisators; kein Kernelquotient 000256 | wird dabei vergessen. Der Ausdruck gilt für affine und nicht nur lineare 000257 | Wirkungen. audit_lifts.py berechnet alle62 Zahlen unabhängig von der 000258 | Orbitzerlegung erneut. Jede einzelne stimmt überein. Die Konjugationsformel 000259 | wird außerdem durch direkte Komposition und Inversion der vollständigen 000260 | 256 Argumente umfassenden Phasenfunktionen an den Basisgeneratoren geprüft. 000261 | 000262 | Für ungeclockte Monodromien ist Pi=F3. Es gibt keine Potenzgleichungen, 000263 | also pro festem basierten rho genau256^3=16777216 Lifts. Derselbe vollständige 000264 | Zentralisatorquotient ergibt für die17 ursprünglichen Vertreter: 000265 | ID0:16752 000266 | ID1:41024 ID2:91864 ID3:26128 ID4:42240 000267 | ID5:41024 ID6:41024 ID7:41024 ID8:41024 000268 | ID9:91864 ID10:91864 ID11:91864 ID12:26128 000269 | ID13:41024 ID14:26128 ID15:42240 ID16:42240. 000270 | Die Summe ist835456. ORDINARY_LIFTS.tsv enthält die17 Zeilen samt 000271 | ursprünglichen Reflexionsindizes und Zentralisatoren. Die Normalform aus 000272 | Abschnitt6 gilt auch hier und liefert ein vollständiges Isomorphiekriterium, 000273 | ohne Millionen basierter Lifts als unbasierte Klassen auszugeben. 000274 | 000275 | 8. Verbindung mit den bisherigen Invarianten 000276 | 000277 | Die beiden ursprünglichen V4 Einbettungen besitzen in der integralen 000278 | Kohomologie H1=Z20+Z/2 beziehungsweise Z20. Die neue Liftklassenzahl über 000279 | jedem ihrer drei geordneten Monodromieorbits beträgt26128 beziehungsweise 000280 | 42240. Hier wirkt dieselbe originale integrale Gitterdarstellung in der 000281 | Kohomologie und über ihr Vorzeichenmodul, ohne angepasste Einbettung. 000282 | 000283 | Die zuvor untersuchten Clockmarkierungen0/3 und0/5 haben dieselbe 000284 | Meridianmonodromie, dasselbe Clockspektrum und dieselbe Gitterkohomologie. 000285 | Die neue Gitterliftklassifikation liefert212 beziehungsweise176 Klassen. 000286 | Sie unterscheidet diese beiden markierten Objekte damit ebenfalls. 000287 | 000288 | Die bereits abgeschlossenen verschiedenen Erweiterungsverträge bleiben: 000289 | Vorzeichenurbild von, alle vier Projektionen J:526336 Klassen. 000290 | Zentrale Z4 Erweiterung über Reflexionsvierern:1088 ungeclockte Klassen, 000291 | keine strikten Clocklifts. 000292 | Ursprüngliche charakterwertige Erweiterung über denselben Reflexionsvierern: 000293 | 835456 ungeclockte Klassen und11356 strikte Clockliftklassen. 000294 | Die zugrunde liegende Gruppe, die Koeffizientenwirkung und die Markierungen 000295 | sind jeweils Bestandteil der Aussage. Gleiche Basismonodromie bedeutet 000296 | keine Gleichheit dieser drei Erweiterungsprobleme.