TFPT scientific source excerpt
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000001 | ZULAESSIGER ZWEIBEIN QUELLENZEUGE FUER HODGE UND J20
000002 | ====================================================
000003 | 
000004 | 28. Oktober 2026
000005 | 
000006 | Frage und Urteil
000007 | ----------------
000008 | 
000009 | Macht eine Eichbeschraenkung die Hodge Antwort
000010 | 
000011 |     Phi(rho) = (1/3) sum_m C_m rho C_m^dagger
000012 | 
000013 | und den alten normierten Zwanzig Ereignis Kanal
000014 | 
000015 |     Psi(rho) = (1/12) sum_l R_l rho R_l^dagger
000016 | 
000017 | operational gleich, obwohl die vollen Kanaele verschieden sind?
000018 | 
000019 | Nein, sobald der gemeinsame SU(5) neutrale Zweibein Zeuge
000020 | 
000021 |     P5 = (1/6) sum_m |C_m>><<C_m|
000022 | 
000023 | als Choi Messung zugelassen ist. P5 ist ein orthogonaler Projektor vom Rang
000024 | fuenf. Er kommutiert mit der vollen SU(5) Wirkung auf den beiden Beinen und
000025 | damit auch mit dem festen Standardmodell Untergruppe
000026 | S(U(3) x U(2)). Fuer die normierten Choi Zustaende gilt exakt
000027 | 
000028 |     Tr(P5 rho_Phi) = 1,
000029 |     Tr(P5 rho_Psi) = 1/5
000030 | 
000031 | fuer jede der sechs alten Marken. Eine gemeinsame SU(5) Eichtransformation
000032 | oder eine SU(5) Mittelung kann diesen Unterschied nicht beseitigen, weil P5
000033 | selbst invariant ist.
000034 | 
000035 | Auf einem einzelnen Bein besteht dagegen Gleichheit. Beide Choi Zustaende
000036 | haben links und rechts die Marginale I_10/10. Deshalb stimmen alle
000037 | Einbeinobservablen ueberein, insbesondere alle Einbeinobservablen im
000038 | Kommutanten einer festen Standardmodell Untergruppe. Die neue Trennung ist
000039 | wirklich eine korrelierte Zweibeinaussage.
000040 | 
000041 | 1. Exakte Normierung des Hodge Zeugen
000042 | -------------------------------------
000043 | 
000044 | Schreibe V fuer die 100 x 5 Matrix mit Spalten vec(C_m). Der vorausgehende
000045 | Checker liefert im selben geordneten Duadenchart
000046 | 
000047 |     V^dagger V = 6 I_5.
000048 | 
000049 | Daher ist P5=VV^dagger/6 ein Projektor vom Rang fuenf. Der Hodge Choi
000050 | Operator ist
000051 | 
000052 |     J_Phi = (1/3) VV^dagger = 2 P5,
000053 | 
000054 | hat Spur zehn und normierten Zustand rho_Phi=J_Phi/10. Somit
000055 | 
000056 |     Tr(P5 rho_Phi) = Tr(2 P5)/10 = 1.
000057 | 
000058 | Der Checker prueft P5^2=P5 und Rang(P5)=5 exakt mit ganzen Zahlen.
000059 | 
000060 | 2. Volle SU(5) Neutralitaet
000061 | ---------------------------
000062 | 
000063 | Fuer R=Lambda^2 U und U in SU(5) gilt die bereits gepruefte
000064 | Epsilon Kovarianz
000065 | 
000066 |     R C_m R^T = sum_n conjugate(U_nm) C_n.
000067 | 
000068 | Nach Vektorisierung ist der Spaltenraum von V deshalb eine bar5 in
000069 | Lambda^2 C5 tensor Lambda^2 C5. Die Summe der fuenf orthogonalen
000070 | Rang eins Projektoren ist invariant.
000071 | 
000072 | Der neue Checker bestaetigt dies unabhaengig infinitesimal auf einer
000073 | Gaussian ganzzahligen Basis aller 24 Erzeuger von su(5):
000074 | 
000075 |     [dR(X) tensor I + I tensor dR(X), P5] = 0.
000076 | 
000077 | Zusaetzlich wird dieselbe Gleichung fuer die zwoelf Erzeuger einer festen
000078 | su(3)+su(2)+u(1) Unteralgebra geprueft. Die Neutralitaet von P5 ist damit
000079 | eine volle SU(5) Aussage. Sie wird nicht aus einer blossen Dimensionszahl
000080 | oder aus der Petersen Population geschlossen.
000081 | 
000082 | Der alte Choi Operator selbst ist weder unter der vollen SU(5) Wirkung noch
000083 | unter dieser festen Standardmodell Untergruppe invariant. In jeder der sechs
000084 | Marken kommutiert er nur mit 4 von 24 beziehungsweise 4 von 12 gewaehlt
000085 | geprueften Erzeugern. Das beeintraechtigt den Zeugen nicht. Ein Zustand muss
000086 | nicht invariant sein, damit ein invariantes Observable seinen invarianten
000087 | Anteil misst. Es bedeutet aber, dass aus Psi keine volle SU(5) kovariante
000088 | Quelle gemacht werden darf.
000089 | 
000090 | 3. Auswertung an den tatsaechlichen zwanzig Ereignissen
000091 | -------------------------------------------------------
000092 | 
000093 | Die zwanzig Matrizen R_l werden fuer jede Marke direkt aus der gepinnten
000094 | Originaldatei `source_channel.py` rekonstruiert. Es werden keine neuen
000095 | Matrizen eingesetzt. Im festen Duadenchart lautet
000096 | 
000097 |     J_Psi = (1/12) sum_l |R_l>><<R_l|,
000098 |     rho_Psi = J_Psi/10.
000099 | 
000100 | Mit P5=VV^dagger/6 folgt
000101 | 
000102 |     Tr(P5 rho_Psi)
000103 |       = [sum_l ||V^dagger vec(R_l)||^2] / (6 * 12 * 10).
000104 | 
000105 | Der Zaehler ist fuer jede der sechs Marken exakt 144. Unter den zwanzig
000106 | einzelnen Ereignissen haben achtzehn den Ueberlappungswert 4 und zwei den
000107 | Wert 36. Daher
000108 | 
000109 |     Tr(P5 rho_Psi) = 144/720 = 1/5.
000110 | 
000111 | Nach den fuenf Komplementmarken gruppiert sind die Zaehler stets eine
000112 | Permutation von
000113 | 
000114 |     48, 48, 16, 16, 16.
000115 | 
000116 | Die Gleichheit fuer alle sechs alten Marken zeigt, dass das Ergebnis nicht
000117 | an der Wahl einer ausgezeichneten Marke haengt.
000118 | 
000119 | 4. Vollstaendiges SU(5) Twirlgewicht und Leckage
000120 | ------------------------------------------------
000121 | 
000122 | Die beiden weiteren irreduziblen Projektoren sind
000123 | 
000124 |     P45 = (I-Swap)/2,
000125 |     P50 = (I+Swap)/2 - P5.
000126 | 
000127 | Zusammen mit P5 sind sie paarweise orthogonal, summieren sich zu I und haben
000128 | die Raenge 5, 45 und 50. Die Auswertung an den tatsaechlichen zwanzig
000129 | Matrizen, getrennt fuer jede der sechs Marken, gibt ohne Symmetrieannahme
000130 | 
000131 |     (p5,p45,p50) = (1/5,2/5,2/5).
000132 | 
000133 | Die Choi Krausspanne hat unter Swap neun symmetrische und sechs
000134 | antisymmetrische Richtungen. Die getrennten Projektionen auf P5, P45 und P50
000135 | haben die Raenge 5, 6 und 7. Die Raenge duerfen nicht addiert werden, weil die
000136 | P5 und P50 Projektionen derselben neun symmetrischen Richtungen verschieden
000137 | ausrichten. Die Gewichte addieren sich dagegen wegen der orthogonalen
000138 | Projektoren zu eins.
000139 | 
000140 | Das volle SU(5) Twirl des alten Kanals ist somit
000141 | 
000142 |     J_twirl = (1/5) (10/5) P5
000143 |             + (2/5) (10/45) P45
000144 |             + (2/5) (10/50) P50.
000145 | 
000146 | Seine Populationswahrscheinlichkeit pro Zielduade lautet exakt
000147 | 
000148 |     gleiche Duade:                  2/25,
000149 |     verschiedene schneidende Duade: 19/225,
000150 |     disjunkte Duade:                31/225.
000151 | 
000152 | Von einer festen Eingabeduade gibt es eine gleiche, sechs schneidende und
000153 | drei disjunkte Zielduaden. Die gesamten Massen sind daher
000154 | 
000155 |     stay       = 2/25,
000156 |     intersect  = 38/75,
000157 |     disjoint   = 31/75.
000158 | 
000159 | Sie summieren sich zu eins. Das SU(5) Twirl entfernt also nicht nur die
000160 | alten Phasen. Es fuehrt Selbstuebergaenge und Uebergaenge zwischen
000161 | schneidenden Duaden ein und zerstoert damit die reine Petersen Stuetzmenge.
000162 | Genau dies erklaert, warum eine nachtraegliche Kovarianzmittelung den alten
000163 | Kanal nicht in Phi verwandelt.
000164 | 
000165 | 5. Was der Kommutant sieht
000166 | --------------------------
000167 | 
000168 | Es sind drei Aussagen zu trennen.
000169 | 
000170 | Erstens sind die normierten Choi Marginalen beider Kanaele auf jedem
000171 | einzelnen Bein I_10/10. Das folgt aus Spurtreue und Unitalitaet und wird an
000172 | den tatsaechlichen Krausfamilien als
000173 | 
000174 |     sum C_m^dagger C_m = sum C_m C_m^dagger = 3 I,
000175 |     sum R_l^dagger R_l = sum R_l R_l^dagger = 12 I
000176 | 
000177 | exakt geprueft. Kein Einbeinobservable kann die beiden Kanaele unterscheiden.
000178 | 
000179 | Zweitens sind die Einschraenkungen auf den Zweibein Kommutanten der vollen
000180 | SU(5) Wirkung verschieden, denn P5 liegt in diesem Kommutanten und hat die
000181 | Erwartungswerte 1 und 1/5.
000182 | 
000183 | Drittens sind auch die Einschraenkungen auf den Zweibein Kommutanten einer
000184 | einzigen festen Standardmodell Untergruppe verschieden. Derselbe P5 liegt
000185 | auch dort. Eine Standardmodell Neutralitaetsforderung allein loescht den
000186 | Phasenunterschied daher nicht.
000187 | 
000188 | Dies entscheidet die enge Eichfrage: Die alten bedingten Klein Vier
000189 | Phasenmittelungen sind keine reine Eichredundanz fuer alle gemeinsamen
000190 | neutralen Prozessobservablen. Wer nur Populationen, Effekte oder ein Bein
000191 | beobachtet, sieht sie nicht. Wer den neutralen Choi Projektor P5 messen kann,
000192 | sieht sie mit Abstand 4/5 in dieser Ja Wahrscheinlichkeit.
000193 | 
000194 | 6. Geltungsbereich
000195 | ------------------
000196 | 
000197 | Die Rechnung gilt exakt im festen Duadenchart, den der alte Quellchecker aus
000198 | den sechs Marken und den zehn Bell Labels konstruiert. Der alte physische
000199 | Raum ist weiterhin Bell10=Sym^2 C4. Die Permutation seiner zehn Ereignislabels
000200 | auf die Zweiersubsets eines Fuenfers ist fuer sich kein linearer SU(5)