TFPT scientific source excerpt
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000030 | ## 2. Die innere 3+2-Involution ist jetzt explizit
000031 | 
000032 | Setze P(z)=z⁴−1. Eine Basis von E ist
000033 | \[
000034 | e_n(z)=\frac{z^n}{P(z)},\qquad n=0,1,2,3,4.
000035 | \]
000036 | Die Funktionen haben höchstens einfache Pole an D und sind bei Unendlich regulär. Die konstante Funktion ist e₄−e₀.
000037 | 
000038 | Für die geometrischen Pullbacks
000039 | \[
000040 | (Rf)(z)=f(iz),\qquad(Sf)(z)=f(1/z)
000041 | \]
000042 | folgt unmittelbar
000043 | \[
000044 | R=\operatorname{diag}(1,i,-1,-i,1),
000045 | \qquad Se_n=-e_{4-n}.
000046 | \]
000047 | Damit gelten R⁴=I, S²=I und SRS=R⁻¹. Insbesondere liegt R² im Zentrum dieser Diederwirkung.
000048 | 
000049 | Die Operatoren
000050 | \[
000051 | P_c=\frac{I+R^2}{2},\qquad P_w=\frac{I-R^2}{2}
000052 | \]
000053 | sind komplementäre Projektoren mit
000054 | \[
000055 | \operatorname{rank}P_c=3,\qquad\operatorname{rank}P_w=2.
000056 | \]
000057 | Konkret liegen e₀,e₂,e₄ im Dreierraum, e₁,e₃ im Zweierraum. Beide Räume werden von R und S erhalten.
000058 | 
000059 | **Der präzise positive Satz:** Auf dem vorhandenen markierten RR-Träger ist die Zerlegung 3+2 durch die zentrale Halbwendung ausgewählt. Dieser Operator ist weder die Einschränkung einer bereits positiv projizierten Zustandsinvolution noch die reine CAR-Polarisation. Die früheren Ausschlüsse dieser beiden Gleichsetzungen treffen diese Konstruktion deshalb nicht.
000060 | 
000061 | Mit der bisherigen TFPT-Vorzeichenkonvention lautet die innere Involution εint=−R². Die Zahl 3 allein wird dabei nicht mit dem Familienraum gleichgesetzt: Der Dreierraum E_c trägt unter R die Eigenwerte (1,−1,1); die drei nichttrivialen Familiencharaktere tragen (i,−1,−i). Ihre Gruppenwirkungen unterscheiden sich.
000062 | 
000063 | ## 3. Der vorhandene Hyperladungsoperator folgt auf diesem Träger
000064 | 
000065 | Die traceless Ladungsverteilung auf beiden Blöcken erfüllt 3y_c+2y_w=0. Mit der üblichen, bereits im Compiler benutzten Normierung y_w=1/2 folgt
000066 | \[
000067 | Y=-\frac13P_c+\frac12P_w
000068 | =\frac{I+5\varepsilon_{\rm int}}{12}.
000069 | \]
000070 | Die Normierung und die Ladungskonjugationskonvention werden also benannt; sie werden nicht durch einen bloßen Projektorrang physisch bestimmt.
000071 | 
000072 | Auf Λeven E addieren sich die Ladungen der besetzten Plätze:
000073 | 
000074 | | Typ | Multiplizität | Y |
000075 | |---|---:|---:|
000076 | | νᶜ | 1 | 0 |
000077 | | Q | 6 | 1/6 |
000078 | | uᶜ | 3 | −2/3 |
000079 | | eᶜ | 1 | 1 |
000080 | | dᶜ | 3 | 1/3 |
000081 | | L | 2 | −1/2 |
000082 | 
000083 | Außerdem gelten tr_E(Y)=0, tr_E(Y²)=5/6 und, für den üblich normierten schwachen T₃, tr_E(T₃²)=1/2. Daraus folgt kY=5/3.
000084 | 
000085 | Diese Ladungstabelle war im TFPT-Compiler bereits vorhanden. Der zusätzliche Zusammenhang ist ihre explizite Anbindung an die wirkliche Halbwendung des RR-Raums. Aus den endlichen inneren Transformationen folgen noch keine lokalen Eichfelder oder ihre Wechselwirkung. Auch die kontinuierliche Gruppe SU(3)×SU(2) ist nicht schon aus einer endlichen D4-Wirkung als physische Eichgruppe hergeleitet.
000086 | 
000087 | ### 3.1 Der Anschluss an alle 480 nativen W-Kopplungen
000088 | 
000089 | Verwende den vorhandenen Viermarkenraum F₄ und seine tatsächliche Permutationswirkung P₄. Dann trägt der Fermionraum die Wirkung
000090 | \[
000091 | U_{64}(g)=\Gamma_{\mathrm{even}}(g_E)\otimes P_4(g).
000092 | \]
000093 | Für beide Erzeuger R und S erfüllt der gepinnte Archivtensor exakt
000094 | \[
000095 | W\Lambda^2U_{64}(g)=
000096 | \left[\det(g_E)\operatorname{diag}(g_E,g_E^{-T})
000097 | \otimes\Lambda^2P_4(g)\right]W.
000098 | \]
000099 | Die Determinantenlinie ist durch die Spinorpaarung vorgegeben. Im unveränderten Archiv darf ihr Charakter nicht weggelassen werden: Mit ihm stimmen alle 480 getragenen Koeffizienten überein; ohne ihn haben alle 480 das falsche Vorzeichen. Verglichen wurden je Erzeuger sämtliche 120.960 Matrixeinträge. Alle 480 Kopplungen erhalten außerdem die angegebene Hyperladung.
000100 | 
000101 | Es gibt jedoch eine konkrete Beseitigung des Twists durch einen Basiswechsel. Auf Λ²F₄ sei K die signierte Komplementabbildung, beispielsweise K(01)=23, K(02)=−13, K(03)=12 und entsprechend rückwärts. Dann gelten K²=I und
000102 | \[
000103 | K\Lambda^2P_4=\det(P_4)\Lambda^2P_4K.
000104 | \]
000105 | Für die tatsächlichen Drehungs- und Spiegelungspermutationen ist det(P₄)=det(g_E)=−1. Daher erfüllt
000106 | \[
000107 | W^\sharp=(I_{10}\otimes K)W
000108 | \]
000109 | die unverdrehte Kovarianz
000110 | \[
000111 | W^\sharp\Lambda^2U_{64}(g)=
000112 | \left[\operatorname{diag}(g_E,g_E^{-T})\otimes\Lambda^2P_4(g)\right]W^\sharp.
000113 | \]
000114 | Auch diese Gleichheit wurde an sämtlichen Einträgen exakt geprüft. Es werden keine Moden oder Wechselwirkungsparameter ergänzt; der Bosonenraum erhält eine andere orthonormale Basis. Die Normierung WW†=8I bleibt erhalten.
000115 | 
000116 | **Dabei müssen die Ladungsoperatoren mittransformiert werden.** K lässt die fünf Träger-Cartanmarkierungen und Y unverändert, kehrt aber die drei SU(4)-Cartanmarkierungen im Sechserraum um. Unter vollständig komplexem SU(4) entspricht die transportierte Wirkung der kontragradienten Wirkung. Mittransportiert stimmen alle 480 Ladungsbedingungen; bei unveränderten Familienladungen scheitern alle 480. Die Hodge-Abbildung vertauscht also keine Ladungen heimlich.
000117 | 
000118 | Damit ist der endliche D4-kovariante Anschluss RR → Spinor/Familie → W konstruiert. Der frühere engere Gedanke, den Charakter nur durch eine skalare Familienphase zu entfernen, scheitert zwar an D4ᵃᵇ=C₂×C₂. Daraus folgt aber kein Verbot des hier ausgeschriebenen nichtskalaren Basiswechsels und keine Notwendigkeit einer neuen projektiven Erweiterung.