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000017 | 1. BEWIESEN: Auf der Spin-Sphaere S2 ist der mit der DETERMINANTENLINIE
000018 |    L2=O(1) gekoppelte echte Spin-Diracoperator transversal von Index eins und
000019 |    hat genau eine positive Nullmode:
000020 | 
000021 |        S_plus = K^(1/2)=O(-1),
000022 |        S_plus tensor L2 = O,
000023 |        ker D_perp_plus = H0(S2,O)=C,
000024 |        coker D_perp_plus = H1(S2,O)=0.
000025 | 
000026 |    Die chirale Indexlinie dieses LINIENoperators ist daher kanonisch
000027 |    eindimensional, bis auf die Phase eines normierten Erzeugers.
000028 | 
000029 |    Das gilt nicht automatisch fuer den Spin-Diracoperator mit dem ganzen
000030 |    rangzweiten E2 als Twist. Aus det E2=O(1) folgt fuer diesen Operator nur
000031 |    der Index eins. Bereits die Zerlegungen
000032 | 
000033 |        E2=O(k) direct_sum O(1-k),  k>=1,
000034 | 
000035 |    haben alle dieselbe Determinante, aber
000036 | 
000037 |        dim ker D_(S2,E2)_plus=k,
000038 |        dim ker D_(S2,E2)_minus=k-1.
000039 | 
000040 |    Der Originaltext fixiert keine holomorphe Zerlegung oder Lueckenbedingung,
000041 |    die daraus den Kernrang eins des vollen E2-Operators machen wuerde.
000042 | 
000043 | 2. BEWIESEN: Das im spaeteren Original verwendete
000044 | 
000045 |        H0(S2,O(1))=C^2
000046 | 
000047 |    ist ein anderer Operatortrager. Beim kanonischen komplexen Spin-c-Dolbeault-
000048 |    operator, mit W_plus=Lambda^(0,0) und Twist O(1), ist der Index
000049 | 
000050 |        chi(O(1)) = dim H0(O(1))-dim H1(O(1)) = 2.
000051 | 
000052 |    Diese zwei Komponenten sind die skalaren holomorphen Abschnitte, die der Text
000053 |    als ein schwaches Dublett liest. Sie sind nicht der eindimensionale Kern des
000054 |    oben gekoppelten Spin-Diracoperators. Die gedruckte Folge
000055 |    H0(O(1))=C^2 und danach Ind(B_E2_plus)=1 zaehlt ein internes Dublett als ein
000056 |    physisches Objekt; sie ist keine Fredholm-Indexgleichung fuer denselben
000057 |    Dolbeaultoperator.