TFPT scientific source excerpt Original repository path: experiments/theory-contracts/elliptic-moebius-source-bridge-20261026/source_recursion_20261028/NATIVE-SPIN5-FUNCTOR-AND-KRAUS-SPACE.txt Original file SHA-256: 3ffcad772d3f0a8fef31ff000cb716b18668f83d013ebe3a55b055d498080050 Inclusive original lines: 1-200 Line numbers below refer to the original source. This bounded excerpt is source evidence; it is not a new proof/checker run. Conversation metadata and personal execution details are omitted where indicated. 000001 | NATIVE SPIN5 FUNCTOR AND KRAUS SPACE 000002 | ===================================== 000003 | 000004 | Stand: 2026-10-28 000005 | Urteil: NACH WAHL EINER MARKIERTEN NATIVEN F20 UNTERGRUPPE UND IHRER 000006 | +i KONFORMEN ALTERNIERENDEN EIGENLINIE ENTFERNT DIE DARAUS MATHEMATISCH 000007 | ERZEUGTE VOLLE SP4 FUNKTORIALITAET DIE F20 MEHRDEUTIGKEIT DES 000008 | ZEHNERINTERTWINERS. SIE LAESST EINE KOMPLEXE SKALARLINIE, METRISCH EINE 000009 | PHASE UND AUF DER KOMPAKTEN REELLEN FORM EIN VORZEICHEN. DER DARAUS 000010 | GEWONNENE HODGE KRAUSRAUM IST BASISUNABHAENGIG. DIE URSPRUENGLICHE 000011 | DISKRETE QUELLE BEWEIST WEDER DIE KONTINUIERLICHE SP4 SYMMETRIE NOCH DIE 000012 | PHYSISCHE AUSWAHL DIESES KANALS. 000013 | 000014 | Quellenkorrektur zum Geltungsbereich 000015 | ------------------------------------ 000016 | 000017 | Die in diesem Bericht verwendete volle Sp4 Naturality ist eine kanonische 000018 | mathematische Fortsetzung der ausgewaehlten Form Omega. Sie ist keine in 000019 | v783 bewiesene kontinuierliche Symmetrie der physischen Quelle. Die erste 000020 | zusaetzliche Strukturwahl fuer den Spin5 Funktor ist daher nicht die blosse 000021 | Existenz einer F20 Untergruppe. Sie ist die Wahl der konformen 000022 | alternierenden Eigenlinie Omega_+ mit 000023 | 000024 | C^T Omega_+ C=Omega_+, 000025 | G^T Omega_+ G=+i Omega_+, (K1) 000026 | 000027 | zusammen mit der positiven Viertelorientierung +i. Fuer das fest gewaehlte 000028 | native Wortpaar ist diese +i Eigenlinie eindimensional. Auch die -i 000029 | Eigenlinie ist eindimensional und liefert den konjugierten Zweig. Die 000030 | Viertelorientierung entscheidet zwischen beiden. Erst danach sind W, q, 000031 | die kompakte Realform und der Spin5 Funktor kanonisch bestimmt. 000032 | 000033 | 1. Ausgangspunkt 000034 | ---------------- 000035 | 000036 | Der vorherige Quellentest hat auf der tatsaechlichen nativen Pauli Vier V 000037 | die Matrizen C und G sowie die kompatible alternierende Form Omega gefunden: 000038 | 000039 | C^T Omega C=Omega, 000040 | G^T Omega G=i Omega. (1) 000041 | 000042 | Dabei ist C von Ordnung 5, G von Ordnung 4 und G C G^-1=C^2. Die 000043 | Standardmetrik auf V ist positiv und Omega ist mit ihr kompatibel. 000044 | 000045 | Belege: 000046 | 000047 | verification/v783_two_qubit_clifford.py:3-35,496-515,581-651,734-810 000048 | SHA256 8f4851634b83f61671b04f3a6211059c40758d21caaf1f779302c799e1e9d6c4 000049 | 000050 | research-20261028-source-recursion-search/ 000051 | NATIVE-PAULI-F20-UNITARY-BRIDGE.txt 000052 | SHA256 6ddc3238986183aa3ea4b30890dc5e629be25fc00a0364905ee0479834a6ed33 000053 | 000054 | 2. Der Fuenfer ist funktoriell, aber sein Slotchart nicht eindeutig 000055 | -------------------------------------------------------------------- 000056 | 000057 | Die inverse symplektische Form spannt eine nicht isotrope Linie in 000058 | Lambda2(V). Ihr primitives Komplement ist 000059 | 000060 | W=(Lambda2(V)/) tensor chi^-1, (2) 000061 | 000062 | mit chi(C)=1 und chi(G)=i. Die Wendepaarung in Lambda2(V) induziert auf W 000063 | eine nicht ausgeartete symmetrische Form q. In der im Checker verwendeten 000064 | Hermitesch orthonormalen Basis lautet sie 000065 | 000066 | [-1 0 0 0 0] 000067 | [ 0 0 0 0 -1] 000068 | q = [ 0 0 0 1 0] 000069 | [ 0 0 1 0 0] 000070 | [ 0 -1 0 0 0]. (3) 000071 | 000072 | Es gilt q^dagger q=q^2=I. Daher bestimmt 000073 | 000074 | j_W(w)=q conjugate(w) (4) 000075 | 000076 | eine kanonische kompakte reelle Fuenferform. Die getwisteten C und G 000077 | Wirkungen sind zugleich Hermitesch unitaer, q orthogonal und j_W reell. 000078 | 000079 | Auf allen zwanzig F20 Elementen stimmt ihr Charakter exakt mit 000080 | 000081 | sign tensor Perm5 (5) 000082 | 000083 | ueberein. Das bestaetigt das funktorielle Fuenferwoerterbuch. 000084 | 000085 | Eine wichtige Restgrenze wird dabei sichtbar. sign tensor Perm5 zerfaellt 000086 | unter F20 in eine eindimensionale Charakterlinie und einen irreduziblen 000087 | Vierer. Deshalb hat der Raum der F20 Intertwiner von W zu einem bereits 000088 | beschrifteten Fuenferslotraum Dimension 2. F20 allein fixiert also das 000089 | relative Skalarverhaeltnis dieser beiden Summanden nicht. Das ist die 000090 | praezise verbleibende Slotchart Freiheit. Sie ist kleiner als die fruehere 000091 | Zehnerfreiheit, aber nicht null. 000092 | 000093 | 3. Die kanonische Spin5 Abbildung 000094 | --------------------------------- 000095 | 000096 | Fuer einen symmetrischen Tensor S in Sym2(V) setze 000097 | 000098 | A_S=S Omega. (6) 000099 | 000100 | Dann liegt A_S in sp(V). Seine induzierte Wirkung L_S auf W liegt in 000101 | so(W,q). Mit der kanonischen Identifikation 000102 | 000103 | so(W,q) -> Lambda2(W), 000104 | L -> L q^-1, (7) 000105 | 000106 | entsteht 000107 | 000108 | F: Sym2(V) tensor chi^-1 -> Lambda2(W). (8) 000109 | 000110 | Diese Formel benoetigt weder einen Fuenferslotchart noch einen ausgewaehlten 000111 | F20 Intertwiner. Sie wird allein aus Omega, der positiven Hermiteschen Form 000112 | und der primitiven Exteriorpotenz gebildet. 000113 | 000114 | Der exakte Checker findet 000115 | 000116 | det F=8, 000117 | F^dagger F=H_Sym2, (9) 000118 | 000119 | wobei H_Sym2 die von der Standardmetrik auf V induzierte positive Metrik 000120 | ist. F ist somit bereits ohne nachtraegliche Polarzerlegung metrisch 000121 | normalisiert. 000122 | 000123 | Noch entscheidender ist der volle Liealgebrentest. Der Raum aller 000124 | Intertwiner, die nicht nur F20, sondern die gesamte sp4 Wirkung vertraegen, 000125 | hat Dimension 000126 | 000127 | dim Hom_sp4(Sym2(V),Lambda2(W))=1. (10) 000128 | 000129 | Damit verschwindet die fruehere 000130 | 000131 | U(2) mal U(1) mal U(1) 000132 | 000133 | Freiheit. Sie war genau die Folge der zu kleinen F20 Symmetrie nach 000134 | Restriction. Die volle Spin5 Funktorialitaet waehlt eine komplexe Linie. 000135 | Die positive Metrik fixiert ihren Betrag. Eine gemeinsame Phase bleibt; auf 000136 | der kompakten reellen Form bleibt ein Vorzeichen. Die explizite Formel (6) 000137 | bis (8) fixiert auch dieses Vorzeichen, sobald Omega und seine Orientierung 000138 | festgehalten werden. Diese Eindeutigkeit ist eine Aussage in der aus Omega 000139 | erzeugten Sp4 Kategorie. Sie ist keine Folgerung aus einer in der Quelle 000140 | gegebenen kontinuierlichen Sp4 Wirkung. 000141 | 000142 | 4. Basisunabhaengiger Hodge Krausraum 000143 | ------------------------------------- 000144 | 000145 | Sei W_R der Fixraum von j_W. Fuer w in W_R definiert die Hodgeoperation 000146 | 000147 | C_w: Lambda2(W_R) -> Lambda2(W_R), 000148 | C_w(x)=*(w wedge x). (11) 000149 | 000150 | Die lineare Abbildung w -> C_w ist injektiv. Ihr Bild 000151 | 000152 | K_Hodge={C_w : w in W_R} (12) 000153 | 000154 | ist deshalb ein kanonischer reeller fuenfdimensionaler Unterraum von 000155 | End(Lambda2(W_R)). Einzelne C_m haengen von einer orthonormalen Basis ab. 000156 | Der Unterraum K_Hodge haengt nicht davon ab. 000157 | 000158 | Fuer jede orientierte orthonormale Basis e_1,...,e_5 gilt exakt 000159 | 000160 | tr(C_m^dagger C_n)=6 delta_mn, 000161 | sum_m C_m^dagger C_m=3 I_10. (13) 000162 | 000163 | Folglich ist 000164 | 000165 | Phi(rho)=(1/3) sum_m C_m rho C_m^dagger (14) 000166 | 000167 | spurtreu und vollstaendig positiv. Bei einem orthogonalen Basiswechsel 000168 | e'_a=sum_m O_am e_m gilt C'_a=sum_m O_am C_m. Die Orthogonalitaet von O 000169 | laesst die Summe in (14) unveraendert. Der Krausraum hat Rang 5 und ist 000170 | damit minimal. 000171 | 000172 | Ueber den metrischen Spin5 Intertwiner F kann K_Hodge auf den reellen 000173 | nativen Bell10 Raum Sym2(V)_R zuruecktransportiert werden. Dieser 000174 | zuruecktransportierte Krausraum ist basisunabhaengig. Eine Wahl einzelner 000175 | Krausoperatoren ist lediglich eine orthonormale Basiswahl in W_R. 000176 | 000177 | Auch eine Umkehr der Orientierung von W_R aendert alle C_m gemeinsam um 000178 | ein Vorzeichen und laesst den Kanal (14) unveraendert. 000179 | 000180 | 5. Konjugierte F20 Untergruppen 000181 | ------------------------------- 000182 | 000183 | Sei h eine native unitaere Cliffordtransformation und 000184 | 000185 | C'=h C h^-1, G'=h G h^-1. (15) 000186 | 000187 | Dann ist die zugehoerige +i Form 000188 | 000189 | Omega' = h^-T Omega h^-1. (16) 000190 | 000191 | Der gesamte Spin5 Funktor ist natuerlich unter diesem Transport. Der neue 000192 | Krausraum ist daher nicht numerisch derselbe Unterraum in einem fest 000193 | gehaltenen Bell10 Koordinatenraum, sondern sein konjugiertes Bild: 000194 | 000195 | K_Omega' = rho_10(h) K_Omega rho_10(h)^-1. (17) 000196 | 000197 | Entsprechend sind auch die Kanaele unitaer konjugiert. Wenn h nur als 000198 | Framewechsel gilt, beschreiben sie denselben abstrakten Kanal. Wenn die 000199 | Bell10 Koordinaten und Quellenmarken physisch festgehalten werden, sind es 000200 | verschiedene Kandidateninstrumente.