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000145 | 
000146 | ## 5. Was ein gemeinsamer positiver Vergleich tatsächlich rekonstruiert
000147 | 
000148 | Nun kommt eine **zusätzliche**, offen deklarierte Datensorte hinzu: kohärente
000149 | Vergleiche endlicher Vorgänge u,v, beschrieben durch K(u,v)∈C. Voraussetzungen:
000150 | 
000151 | 1. Hermitizität und Positivität jeder endlichen Gram-Matrix;
000152 | 2. normierte Referenzgeschichte K(1,1)=1;
000153 | 3. festgelegte Komposition und Adjungierung mit
000154 |    K(x,ay)=K(a* x,y);
000155 | 4. Nullrelationen bleiben bei zulässiger Fortsetzung Nullrelationen. Für
000156 |    beschränkte Operationen genügt die stärkere, quantitative Bedingung
000157 |    ||a x||_K≤C_a||x||_K für alle endlichen Linearkombinationen.
000158 | 
000159 | Auf dem Vektorraum endlicher formaler Linearkombinationen setzt man
000160 | 
000161 |     <Σ c_u u, Σ d_v v> = Σ conj(c_u) d_v K(u,v).
000162 | 
000163 | Quotientieren nach Nullnorm und Vervollständigen ergibt H_K. Ein Vorgang a wirkt
000164 | durch [u]↦[au], die Referenz ist Ω=[1]. Die angegebenen Bedingungen machen diese
000165 | Wirkung wohldefiniert und ihre Adjungierung kompatibel. Im beschränkten Fall
000166 | setzt sie sich auf die Vervollständigung fort. Bei unbeschränkten Strommoden
000167 | gilt zunächst nur die gemeinsame algebraische Domäne; Selbstadjungiertheit,
000168 | Abschlüsse und echte Zeitentwicklung brauchen zusätzliche Domänenkontrolle.
000169 | 
000170 | Jede andere zyklische Darstellung derselben vollständigen Vergleichswerte
000171 | ist durch [u]↦A_uΩ eindeutig isometrisch verbunden; die dichten zyklischen
000172 | Spannen machen daraus eine unitäre Äquivalenz der Hilberträume. Die markierten
000173 | Operationen werden auf ihrer gemeinsamen Wortdomäne mitgenommen.
000174 | 
000175 | Damit entstehen gemeinsam:
000176 | 
000177 | - repräsentierende Zustandsvektoren und ihr Trägerraum;
000178 | - die Vektormetrik d(u,v)²=K(u,u)+K(v,v)−2Re K(u,v);
000179 | - die Wirkung und Adjungierung der tatsächlich enthaltenen Operationen;
000180 | - alle im vollständigen K enthaltenen kohärenten Antworten.
000181 | 
000182 | Die Vektormetrik ist **keine hergeleitete Raumzeitmetrik**. Physische reine
000183 | Zustände können zusätzlich durch Strahlen statt normierte Vektoren beschrieben
000184 | werden; Referenzphasen und tatsächliche kohärente Kontrollen sind auseinander-
000185 | zuhalten. Eine Antworttabelle mit Wahrscheinlichkeiten ist nicht ohne weiteres
000186 | dieser komplexe K. Insbesondere wird die Quantenregel nicht aus nackter Logik
000187 | hergeleitet.
000188 | 
000189 | Die Rekonstruktion ist eine GNS-/Gram-Rekonstruktion. Ein aktueller präziser
000190 | Gruppenfall mit zyklischer Eindeutigkeit steht bei
000191 | [Neeb und Russo, Appendix B](https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-022-02531-4).
000192 | Die oben verwendete Wort-/Domänenfassung wird hier explizit angegeben, damit
000193 | Gruppen- und Operatorvoraussetzungen nicht stillschweigend ausgetauscht werden.
000194 |