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000283 | \end{equation}
000284 | Die Riemann--Hurwitz-Rechnung ist $2g-2=3(-2)+4(3-1)=2$, also $g=2$. Die sechs hyperelliptischen Verzweigungspunkte sind genau $\mu_6$. Die verbleibenden Vorzeichen der Monodromiematrizen sind Daten eines Linienlokalsystems auf dieser Kurve. Die Kurve allein enthält sie noch nicht.
000285 | 
000286 | Die ursprüngliche Quadratrotation hebt ausdrücklich zu
000287 | \begin{equation}
000288 | r:(w,\eta)\longmapsto
000289 | \left(\frac1w,-\frac{i\eta}{w^3}\right),\qquad
000290 | r^2(w,\eta)=(w,-\eta),\quad r^4=I.
000291 | \end{equation}
000292 | Auch der Sechserzyklus ist auf derselben Kurve vorhanden. Für $\omega=e^{2\pi i/3}$ setze
000293 | \begin{equation}
000294 | c(w,\eta)=(\omega w,\eta),\qquad
000295 | s(w,\eta)=(-w,\eta).
000296 | \end{equation}
000297 | Die sechs Punkte lassen sich als $p_a=\omega^a$, $q_a=-\omega^a$ ordnen. In diesem Punktlabelraum wirken
000298 | \begin{equation}
000299 | c=\diag(P_c,P_c),\qquad
000300 | s=\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix},\qquad T=sc.
000301 | \end{equation}
000302 | Der explizite unitäre Intertwiner
000303 | \begin{equation}
000304 | J_{\rm pts}=\frac1{\sqrt2}
000305 | \begin{pmatrix}F^\dagger&F^\dagger\\F^\dagger&-F^\dagger\end{pmatrix}
000306 | \end{equation}
000307 | erfüllt
000308 | \begin{equation}\label{eq:pointhexagon}
000309 | \boxed{J_{\rm pts}^\dagger TJ_{\rm pts}=M\oplus(-M),\qquad
000310 | J_{\rm pts}^\dagger sJ_{\rm pts}=\diag(I,-I).}
000311 | \end{equation}
000312 | Damit ist der endliche Sechseroperator ein tatsächlicher markierter Punkttransport. Er wurde nicht aus der Zahl sechs erraten.
000313 | 
000314 | \begin{center}
000315 | \begin{tikzpicture}[node distance=7mm]
000316 | \node[box,text width=12.8cm] (q) {\textbf{Originales Quadrat}\quad $1,i,-1,-i$\\drei Familien; signierte lokale Monodromie};
000317 | \node[box,below=of q,text width=12.8cm] (g) {\textbf{Dieselbe Deckkurve}\quad $w^3=(z^2-1)/(z^2+1)$\\zwei Henkel; Vorzeichen-Linienlokalsystem mitführen};
000318 | \node[box,below=of g,text width=12.8cm] (h) {\textbf{Zweite Ansicht}\quad $\eta^2=1-w^6$\\sechs Verzweigungspunkte; $M\oplus(-M)$ als Punkttransport};
000319 | \node[box,below=of h,text width=12.8cm] (f) {\textbf{Noch zu identifizierende Feldwirkung}\\derselbe Transport auf geladenen Defekten, ihrem Zustand und den vollständigen Antworten};
000320 | \draw[arr] (q)--(g);\draw[arr] (g)--(h);\draw[dasharr] (h)--(f);
000321 | \end{tikzpicture}
000322 | \end{center}
000323 | 
000324 | \picturetext{Vier Marken, drei Blätter und sechs ausgezeichnete Punkte können Ansichten derselben geometrischen Konstruktion sein. Die mitgeführten Vorzeichen sind dabei wie zusätzliche Anweisungen auf den Blättern: Das Drehen der Zeichnung genügt noch nicht, um die Feldoperation richtig zu drehen.}
000325 | 
000326 | Insbesondere ist $s$ nicht die hyperelliptische Involution. Letztere fixiert alle sechs Verzweigungspunkte; $s$ vertauscht die beiden Dreierbahnen und induziert $z\mapsto1/z$. Der hier bewiesene Punktintertwiner darf deshalb weder als Feldintertwiner noch als Ableitung des ursprünglichen Nahtprojektors ausgegeben werden.
000327 |