TFPT scientific source excerpt
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000001 | [OMITTED: non-scientific conversation or execution metadata]
000002 | 
000003 | Fortsetzung 25: Der relative Matchingoperator T = R − U an der vollen Quelle
000004 | Kurzfassung
000005 | 
000006 | Ich habe euren Operatorweg T = R − U am Original weitergeführt, mit Orientierung, C₀, vollem h, Zeit und Reflexion. Es gibt fünf Ergebnisse (matching_branches.py, localize.py):
000007 | 
000008 | Orientierung. In der Originalkonvention D_Γ = i∂_θ, U_Γ = e^{iθ} ist der primitive Defekt ein echter Kern. Das gebundene Nullmodenprofil ist x_n = exp(−ℓ[n(n+1)/2 + αn]) mit Index +1. Das passt zum Vorzeichen SF = +1 in fullv21, wenn Γ₊ der Fläche 0 zugeordnet wird. In unserer Konvention −i∂_θ ist es der Kokern mit Index −1.
000009 | Quarterquelle = NS-Halbformkreis. B_cov = 2(A_{1/4} ⊕ A_{3/4}) hat das Spektrum ℤ + ½, und U_cov ist exakt die Verschiebung um eins. Das ist der Rand eines gelifteten z-Diskus mit Multiplikator z. Euer Einzelblock-U entspricht z² auf einem T_π-Block, nicht z.
000010 | Volle Quelle. Für h = Aγ_F − iγ_FΦ tragen die beiden Gradzweige die Indizes −1 und +1. C₀ bildet T₊ auf T₋* ab und den Kokern exakt auf den Kern, mit Gaußprofil bis auf eine Konstante. Für v252 ist der Gesamtindex −tr γ_F = 0. Numerisch hebt die γ_F-ungerade Yukawa-Kopplung den gepaarten Defekt auf. Auf dem geladenen Sektor ist also kein Defekt geschützt.
000011 | Zeit. Auf der vorhandenen Graphfamilie existiert keine G-erhaltende Zeit mit fester Naht. Die Kreiszeit wirkt auf der Defektlinie relativ zum flachen Rahmen der mitbewegten Nahtfamilie mit Holonomie e^{2πiα} = ±i, genau den Viertelphasen.
000012 | Reflexion. Das antilineare C₀ erhält die orientierte Matchingform, weil Flächentausch und Inversion der Klebung sich kompensieren. Ein lineares, θ-festes, flächentauschendes R_prod würde die Windung umkehren.
000013 | 1. Übernommene Korrekturen
000014 | Für W = I ⊕ U gilt Tr ΔA = 0 und Tr Δ(1−A) = +1. Mein „Ladungstransfer ±1 zwischen den Flächen“ (Satz H2 in Fortsetzung 24) gehört zu U ⊕ U und ist zurückgezogen.
000015 | c-Sektoren und Gewichte modulo 1 sind noch kein Beweis über die Randbereiche an μ₄.
000016 | Aus einem Determinantencharakter folgt allein kein neues ungeladenes Rang-1-Feld. Ich prüfe das unten am Operator selbst.
000017 | Die gebundene Fehlpassung F_U = [−U, I]V und der Fredholm-Operator T = R − U mit Index −1 und Gauß-Kokern sind eure Konstruktion und werden übernommen.
000018 | 2. Satz O: Orientierung im Original
000019 | 
000020 | Konvention. D_Γ = i∂_θ hat auf e^{inθ}-Moden den Eigenwert −(n+α), also das Gegenvorzeichen von B. Mit der Bulkpropagation e^{−ℓD_Γ} ist R_orig = e^{+ℓ(n+α)} = 1/r_n.
000021 | 
000022 | Kern. Aus T_orig x = 0 folgt e^{ℓ(n+α)} x_n = x_{n−1}, also
000023 | 
000024 | x_n = x₀ · exp(−ℓ[n(n+1)/2 + αn]).
000025 | 
000026 | Diese Folge fällt an beiden Enden gaußförmig ab. Der Kokern ist null, der Index +1. Numerisch ist der Kernvektor zu 98,5 % zentral lokalisiert; in der Konvention −i∂_θ ist es stattdessen der Kokernvektor (99,4 %).
000027 | 
000028 | Folgerung. Die Originalangabe „SF = 1“ zusammen mit D_Γ = i∂_θ und U_Γ = e^{iθ} legt fest: Bei der Zuordnung Γ₊ → Fläche 0, Γ₋ → Fläche ℓ ist der primitive Defekt eine echte gebundene Nullmode des verklebten Problems. Die umgekehrte Flächenzuordnung ergäbe −1, im Widerspruch zum Vorzeichen in fullv21.
000029 | 
000030 | Wo C₁ und C₂ liegen, kann ich ohne den Volltext von fullv21:220–258 nicht belegen. Diese Randkarte bleibt der erste offene Abgleich.
000031 | 
000032 | 3. Satz NS: Die alte Quarterquelle ist der Spin-Halbformkreis
000033 | 
000034 | Mit A_α e_n = (n+α) e_n hat B_cov = 2(A_{1/4} ⊕ A_{3/4}) die Eigenwerte 2n + ½ und 2n + 3/2, zusammen also ℤ + ½. Das ist NS.
000035 | 
000036 | Die Basiszuordnung lautet e^{NS}{2n} ↔ e_n^{(1/4)} und e^{NS}{2n+1} ↔ e_n^{(3/4)}. Darin ist U_cov = [[0, U_base], [I, 0]] exakt die Verschiebung m ↦ m + 1, also Multiplikation mit z auf f(z)√dz ↦ e^{iθ/2} f(e^{iθ}).
000037 | 
000038 | Die beiden Quarterblöcke sind die Eigenräume der Halbdrehung T_π mit Phasen i und −i, wie im Atlas.
000039 | 
000040 | Daraus folgt:
000041 | 
000042 | U_base = U_cov², also z² auf jedem T_π-Block.
000043 | Eure Einzelblockrechnung mit U e_n = e_{n+1} ist z² auf einem Block mit Index −1. Auf dem ganzen NS-Kreis hat z² Index −2.
000044 | Die primitive Klebung ist U_cov = z mit Index −1 (bzw. +1 in Originalorientierung) pro gelifteten Diskus.
000045 | 
000046 | Damit ist Spektrum, Multiplikator und Norm für einen gelifteten Diskusrand mit der Originalquelle identifiziert. Offen bleibt der Bereichstest an den Verzweigungsecken: Dort hat der Pullback von d/dθ den Koeffizienten iz/(3au²) d/du.
000047 | 
000048 | 4. Satz V: Volle Quelle h = Aγ_F − iγ_FΦ
000049 | 
000050 | Zweige. Ist Φ γ_F-ungerade und kommutiert mit A, dann gilt h² = A² + Φ². Das Hauptsymbol ist γ_F A.
000051 | 
000052 | Der Zweig γ_F = +1 verhält sich wie oben: Index −1, Kokern.
000053 | Der Zweig γ_F = −1 hat R wachsend für n → +∞: Index +1, Kern.
000054 | Der Index pro Einheitsklebung ist daher −tr γ_F. Für das 96-dimensionale v252 gilt tr γ_F = 0 (24 − 24 auf Teilchen, gespiegelt auf Antiteilchen), also Index 0.
000055 | 
000056 | C₀-Paarung. C₀ ist punktweise antiunitär mit C₀hC₀ = −h. Daraus folgen C₀UC₀ = U* und C₀RC₀ = R⁻¹. Damit:
000057 | 
000058 | C₀ bildet den Graphen {(v, Rv)} auf den flächengetauschten Graphen ab.
000059 | C₀ bildet T₊ auf T₋* ab.
000060 | Der Gaußkokern y_n = exp(−ℓ[n(n−1)/2 + n/4]) des Zweigs (+, ¼) geht unter m = −n−1 exakt in den Kern x des Zweigs (−, ¾) über. Die Exponentendifferenz ist konstant −¾.
000061 | 
000062 | Yukawa-Test (Minimalpaar mit h_n = [[n+¼, −iφ], [iφ, −(n+¾)]]), unterschieden nach echten zentralen Nullmoden und Rand-Artefakten der Abschneidung:
000063 | 
000064 | φ	echter zentraler Kern/Kokern
000065 | 0	1 / 1
000066 | 0,3	keiner (nur Randartefakt)
000067 | 1,0	keiner
000068 | 
000069 | Bei zwei gekoppelten Paaren verschwinden die echten Moden ebenso. Die Yukawa-Kopplung hebt den gepaarten Defekt also auf. Ein Z₂-Schutz pro C₀-Paar besteht in diesem Modell nicht.
000070 | 
000071 | Meine Mod-2-Vermutung aus Fortsetzung 23 ist damit auch auf Operatorebene widerlegt.
000072 | 
000073 | Folgerung für den Quellvertrag.
000074 | 
000075 | Der ungraduierte Index ist 0.
000076 | Der γ_F-graduierte Index −96 ist unter Φ nicht invariant, weil Φ γ_F-ungerade ist.
000077 | Paarweise Defekte werden generisch aufgehoben.
000078 | 
000079 | Der geladene v252-Sektor trägt bei skalarer Klebung also keinen geschützten Matchingdefekt. Geschützt ist nur, was einen von null verschiedenen ungraduierten Index hat. Das ist die skalare primitive Naht aus fullv21:230–247, die im Original skalar formuliert ist, also kein neu eingeführtes Feld. Offen ist, ob sie in der vollen Quelle als eigener Rang-1-Sektor neben v252 existiert.
000080 | 
000081 | Einschränkungen des Tests: Φ ist entlang der Naht konstant und koppelt gleiche Moden. Die vollständige C₀-Realbedingung ist im Toymodell nicht erzwungen.
000082 | 
000083 | 5. Zeit: Mitbewegte Naht und Viertelholonomie
000084 | 
000085 | Keine Eichkompensation. Eine konstante Phase auf nur einer Fläche bildet G auf den Graphen mit Kreuzphase e^{it}c ab. Sie ist keine Symmetrie des gegebenen Graphen. Funktionen von B erhalten G, kommutieren aber nicht mit U. Es gibt in dieser Klasse also keine Zeit, die G und die feste Matchingbedingung zugleich erhält.
000086 | 
000087 | Kovarianz. Exakt gilt T_t = R − e^{it}U = e^{itB} T e^{−itB}. Der Kokern der Familie T_φ hat den flachen, eindeutigen Rahmen y(φ)_n = e^{iφn} y_n. Die Kreiszeit liefert dagegen e^{itB}y = e^{itα} y(t). Nach t = 2π ist die Holonomie e^{2πiα}: i für α = ¼ und −i für α = ¾.
000088 | 
000089 | Das definiert keine neue Zeit. Es berechnet die vorhandene Kreiszeit auf der Defektlinie: Sie ist parallel zur mitbewegten Nahtfamilie bis auf genau die Viertelphase der Originalquelle. Eine physische Zeit mit fester Naht muss die Nahtphase mitführen; das muss das Original liefern.
000090 | 
000091 | 6. Reflexion
000092 | C₀ (antilinear) kehrt Flächenordnung und Klebungsrichtung zugleich um. Die Bedingung v_ℓ = Uv₀ bleibt exakt erhalten. Das ist die gesuchte Verträglichkeit mit dem vollen selbstdualen Chart.
000093 | Ein lineares R_prod = S ⊗ γ_F, das die Flächen tauscht und θ festhält, macht aus v_ℓ = Uv₀ die Bedingung v_ℓ’ = U⁻¹v₀’. Der Index kehrt dann das Vorzeichen.
000094 | 
000095 | Die orientierte Matchingform wird also nur von der antilinearen Reflexion (C₀- bzw. J_R-Typ) erhalten. Ob S die Flächen tatsächlich tauscht, ist am Original zu prüfen.
000096 | 
000097 | 7. Bilanz
000098 | 
000099 | Übernommen: F_U und T = R − U mit Index −1 und Gauß-Kokern, G(B), C₀ aus F5, U_cov und B_cov aus der alten Randquelle, fullv21 mit U_Γ und SF = 1.
000100 | 
000101 | Neu gezeigt:
000102 | 
000103 | Die Orientierung: Kern statt Kokern in Originalkonvention.
000104 | Die exakte NS-Identifikation der Quarterquelle mit einem Diskusrand, mit U_base = z².
000105 | Zweigindizes ±1 und C₀-Paarung der Defekte mit exakter Gaußabbildung.
000106 | Gesamtindex 0 für v252 und numerische Aufhebung gepaarter Defekte durch Φ.
000107 | Keine G-erhaltende Zeit bei fester Naht; Kreiszeit-Holonomie ±i auf der Defektlinie.
000108 | C₀ erhält die orientierte Matchingform, ein lineares R_prod nicht.
000109 | 
000110 | Offen: die Randkarte C₁/C₂/Γ±, der Bereich an den Verzweigungsecken, die Existenz des skalaren primitiven Sektors in der vollen Quelle, die mitbewegte Nahtphase als Originalzeit, und ob S die Flächen tauscht.
000111 | 
000112 | 8. Nächster entscheidender Test
000113 | Randkarte. fullv21:220–258 Zeile für Zeile auf Γ±, C₁, C₂ und die Orientierung der Verdopplung prüfen. Gilt Γ₊ → Fläche 0, so ist der Originaldefekt der gebundene Kern aus Satz O.
000114 | Verzweigungsecken. Den Halbform-Zusammenhang an den Ecken transportieren, mit dem Koeffizienten iz/(3au²) d/du. Daran entscheidet sich, ob drei Diskusränder mit je U_cov = z exakt das alte Kabel mit Index 3 bilden.
000115 | Nahtphase. Im Original nach einer Nahtphase oder Eichung suchen, die mit der Kreiszeit mitläuft. Kandidat ist die Holonomie e^{2πiα} der Quarterblöcke: Die Kreiszeit wäre dann parallel zur Defektlinie genau bis auf die Quarterphase, die das Original bereits als B_{1/4} ⊕ B_{3/4} trägt.
000116 | 
000117 | Bildlich: Die Naht ist ein Reißverschluss mit einem einzigen versetzten Zahn. Im Original sitzt dort ein gebundener Zustand. Bei den geladenen Teilchen gibt es zu jedem versetzten Zahn einen entgegengesetzten, und die Higgs-Kopplung schließt beide. Übrig bleibt nur der ungeladene Grundzahn. Die Zeit dreht den Reißverschluss mit und nimmt dabei eine Viertelphase mit.