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000229 | 6. Klassifikation und die Rolle der Äquivalenz
000230 | 
000231 | Für jeden festen Reflexionsvierer existieren64 basierte zentrale Lifts:
000232 |   sum_j k_j=2 mod4.
000233 | Im Modell E subset G x Z/8 erhält jede Konjugation alle zentralen
000234 | Koordinaten k_j. Also wirkt das Urbild des Zentralisators des Vierers
000235 | trivial auf diesen64 Lösungen. Dies rechtfertigt im vorliegenden Modell
000236 |   17*64=1088 Isomorphieklassen ohne Clock.
000237 | Eine analoge Aussage gilt für die Clockphase a und d in5b; deshalb sind
000238 | die dortigen Zahlen tatsächlich unbasierte Klassen über den62 Grundklassen.
000239 | Das allgemeine H^1 Torsorprinzip allein hätte dies nicht bewiesen.
000240 | 
000241 | Ein vollständiges Invariantensystem für die ungeclockten zentralen Lifts
000242 | ist (kanonische Viererklasse, geordnetes k Tupel mit Summe2).
000243 | Für die zentral kovarianten Clockobjekte ist es
000244 |   (kanonische Viererklasse,
000245 |    Zentralisatororbit der Clock innerhalb dieser Viererklasse,
000246 |    k0,a,d), d in {1,3}, k0,a in Z/4.
000247 | Zum Beweis wähle zuerst einen kanonischen Vierervertreter. Die verbleibenden
000248 | Basiswechsel sind genau sein Zentralisator; dessen Orbits der zulässigen
000249 | Clockmatrizen sind die ursprünglichen62 Vertreter. Danach wirken nur die
000250 | gemeinsamen Zentralisatoren, und diese ändern die zentralen Koordinaten
000251 | nicht. Dies beweist Notwendigkeit, Hinlänglichkeit und Vollständigkeit.
000252 | Für strikte E Lifts der62 Clockobjekte ist die Klassifikation leer.
000253 | 
000254 | Schwächere Invarianten sind ausdrücklich unvollständig. Beispiel:
000255 | r=diag(-1,1,1,1), viermal derselbe Meridian, und
000256 |   C1=diag(-1,-1) directsum [[0,-1],[1,0]],
000257 |   C2=diag(-1,-1,-i,i).
000258 | Dies sind die ursprünglichen Clockvertreter0/3 und0/5. Beide haben
000259 | epsilon=0, Ordnung4, dasselbe charakteristische Polynom
000260 | (t+1)^2(t^2+1), dieselbe Meridianmonodromie, dieselbe integrale
000261 | U Kohomologie und denselben Obstruktionswert(0,2).
000262 | Ihre gemeinsamen Zentralisatoren mit r haben jedoch Ordnungen64 und128,
000263 | exakt im vollständig erzeugten G berechnet. Sie sind daher nicht als
000264 | clockmarkierte Objekte isomorph. Selbst das gesamte Clockspektrum genügt
000265 | nicht; der Zentralisatororbit der Clock gehört zum vollständigen Invariant.
000266 | 
000267 | Auch (k_j)=(2,0,0,0) und(0,2,0,0) über demselben Vierer sind
000268 | nichtisomorphe zentrale Lifts mit identischer zugrundeliegender
000269 | Gitterkohomologie. Sie können durch keine gleichzeitige Konjugation
000270 | identifiziert werden. Geordnete Punkturen werden nicht nachträglich vertauscht.
000271 |