TFPT scientific source excerpt Original repository path: experiments/theory-contracts/original-admissible-source-closure-20261025/TRANSVERSE-INDEX-EM-RESPONSE.txt Original file SHA-256: 1d8758b405532f5f1e31421be142bd2759bddc3e361072581f71945a56402036 Inclusive original lines: 191-390 Line numbers below refer to the original source. This bounded excerpt is source evidence; it is not a new proof/checker run. Conversation metadata and personal execution details are omitted where indicated. 000191 | explizit angegebenen hoeherdimensionalen Regularisierung verwendet werden. 000192 | 000193 | Fuer die Produktfamilie (2a) sieht man das Hindernis bereits blockweise. Auf 000194 | einem normalen Paar +/-lambda ist bis auf eine feste Wahl der Pauli Matrizen 000195 | 000196 | H_x^lambda=x sigma_3+lambda sigma_1, 000197 | E_x=sqrt(x^2+lambda^2), 000198 | P_x=(I-H_x^lambda/E_x)/2. 000199 | 000200 | Sind Delta theta die Winkel zwischen den Einheitsvektoren von H_x^lambda und 000201 | H_(x+1)^lambda, dann hat P_(x+1)-P_x die beiden gleichen Singulaerwerte 000202 | sin(Delta theta/2), und 000203 | 000204 | ||P_(x+1)-P_x||_1 000205 | =2 sin(Delta theta/2) 000206 | >= sin(Delta theta) 000207 | =lambda/(E_x E_(x+1)). (2c) 000208 | 000209 | Fixiert man einen Fourierindex, so gilt fuer alle hinreichend grossen lambda 000210 | auch E_x E_(x+1)<=2 lambda^2 und damit die untere Schranke 1/(2 lambda). 000211 | Die positiven Eigenwerte eines zweidimensionalen normalen Diracoperators 000212 | erfuellen, mit Vielfachheiten gezaehlt, lambda_j asymptotisch proportional zu 000213 | sqrt(j). Daher divergiert schon die Summe der Blockspurnormen in (2c). Die 000214 | volle Projektordifferenz der natuerlichen dreidimensionalen Produktfamilie 000215 | ist somit im Allgemeinen nicht spurklassig. Der auf die normalen Nullmoden 000216 | reduzierte Kreisfaktor kann dagegen ein gewoehnlicher relativer 000217 | Fredholmfaktor sein. Diese Reduktion muss den massiven Anteil der vollen 000218 | Quellenantwort weiterhin getrennt mitfuehren. 000219 | 000220 | 000221 | 3. P_adm STELLT DIESEN PFEIL NICHT HER 000222 | -------------------------------------- 000223 | 000224 | `documents/archive--paper-latex--tfpt-42/sections/ 000225 | 022-section-closure-theorems-from-the-admissibility-complex.tex:12-100` 000226 | setzt 000227 | 000228 | P_adm=P_prim P_sing P_Theta=P_str P_gap, 000229 | P_Theta=(I+Q_Theta)/2, 000230 | 000231 | wobei fuer Q_Theta nur Selbstadjungiertheit und Q_Theta^2=I angegeben werden. 000232 | P_gap wird aus dem abstrakten D_adm gebildet. Es gibt dort keine Gleichung 000233 | 000234 | P_Theta = Pi_{ker B_{E_2}^+}, 000235 | P_adm M_{g_2}=M_{g_2}P_adm, 000236 | 000237 | und keinen Pushforward von nabla^(2) auf B_Sigma oder D_Gamma. P_adm ist ein 000238 | nach der Carrierwahl definierter Selektor auf dem schon vorhandenen 000239 | Quellenraum. Er ist nicht die analytische Familienindexabbildung, die den 000240 | normalen Operator erst auf diesen Raum uebertraegt. 000241 | 000242 | Das ist auch kategorial sichtbar. In der originalen SBord^adm Kategorie sind 000243 | Morphismen unitaere Intertwiner der angezeigten einseitigen Daten. Ein 000244 | nichtkonstanter Multiplikationsloop verschiebt den Kreisgenerator und ist 000245 | deshalb kein Automorphismus eines festgehaltenen D_+. Er kann eine legitime 000246 | Quellenvariation zwischen verbundenen Operatoren definieren, aber dafuer muss 000247 | die entsprechende Operatorfamilie samt Gauge Descent angegeben werden. 000248 | 000249 | 000250 | 4. DER MASTERDETERMINANT ENTHAELT KEINE VERDECKTE FAMILIE 000251 | -------------------------------------------------------- 000252 | 000253 | `documents/archive--paper-latex--tfpt-42/sections/ 000254 | 027-subsection-primitive-completion-from-the-boundary-kernel.tex:229-355` 000255 | definiert fuer 000256 | 000257 | xi=(alpha,chi_geo,delta_ph,rho_vac) 000258 | 000259 | das Masterfunktional mit den Termen 000260 | 000261 | -log Z_rel^{P_adm}[xi] 000262 | +Re log det_{zeta,P_adm}(D_xi^2+mu^2) 000263 | +(1/2) eta_{Sigma,P_adm}(D_xi) 000264 | -log det(1-U_{6,xi}) 000265 | +Gamma_vac. 000266 | 000267 | In tfpt-42 kommt D_xi nur an diesen beiden Stellen des Ausdrucks vor. Es wird 000268 | weder als Differentialoperator noch durch seine Domain, Verbindung oder 000269 | alpha Ableitung definiert. Der anschliessende Beweis behauptet in Zeilen 000270 | 326 bis 336 die orthogonale Blockzerlegung und identifiziert den U(1) Block 000271 | mit der schon definierten EM Wirkung. Er leitet diese Zerlegung nicht aus 000272 | D_+, B_{E_2} oder einer transversalen Familie her. 000273 | 000274 | Damit ist die dortige Faktorisierung ein Paketierungsvertrag. Sie ist keine 000275 | Operatorfaktorisierung, aus der die Konstanz des massiven Komplements unter 000276 | alpha folgt. Insbesondere fehlen Gleichungen der Form 000277 | 000278 | D_xi = D_{zero,alpha} direct_sum D_{mass,alpha}, 000279 | partial_alpha log det_rel(D_{mass,alpha}^2+mu^2)=0. (3) 000280 | 000281 | 000282 | 5. EXAKTER TEST DES MASSIVEN KOMPLEMENTS 000283 | ---------------------------------------- 000284 | 000285 | Der staerkste natuerliche Produktansatz zeigt, warum Massivitaet allein (3) 000286 | nicht begruendet. Dieser Test fuehrt kein neues TFPT Modell ein; er prueft die 000287 | behauptete Konsequenz einer Produktfaktorisierung. 000288 | 000289 | Sei 000290 | 000291 | A_a=-i partial_theta+a 000292 | 000293 | der Kreisoperator mit U(1) Holonomie a und sei lambda>0 ein Eigenwert des 000294 | transversalen massiven Operators. Im antikommutierenden Produktblock ist der 000295 | positive Operator 000296 | 000297 | A_a^2+lambda^2. 000298 | 000299 | Nach relativer Zeta Normalisierung gegen a_0 ist sein Determinantenquotient, 000300 | bis auf den im Quotienten wegfallenden a unabhaengigen Faktor, 000301 | 000302 | det_zeta(A_a^2+lambda^2) 000303 | --------------------------------- 000304 | det_zeta(A_a0^2+lambda^2) 000305 | 000306 | = [cosh(2 pi lambda)-cos(2 pi a)] 000307 | /[cosh(2 pi lambda)-cos(2 pi a_0)]. (4) 000308 | 000309 | Folglich 000310 | 000311 | partial_a log det_zeta(A_a^2+lambda^2) 000312 | = 2 pi sin(2 pi a) 000313 | /[cosh(2 pi lambda)-cos(2 pi a)]. (5) 000314 | 000315 | (5) ist fuer generisches a nicht null. Ein groesserer Massengap macht den 000316 | Beitrag klein, aber nicht exakt konstant. Gepaarte positive Eigenwerte 000317 | multiplizieren den Quillen Normbeitrag; sie heben ihn nicht wie eine 000318 | gerichtete chirale Phase automatisch auf. 000319 | 000320 | Genau das trennt (2a) in zwei Antworten. Seine nichtnull +/-lambda Bloecke 000321 | haben Spektralfluss null, tragen aber die nichtkonstante positive 000322 | Determinantennorm (4). Die Gleichheit SF=Ind D_N^+ entfernt sie daher aus dem 000323 | Index, nicht aus der Quillen Antwort. 000324 | 000325 | Deshalb gilt: 000326 | 000327 | * Falls alpha eine Holonomie beziehungsweise Verbindungskomponente a 000328 | veraendert, muss das massive Komplement in der vollen Antwort berechnet 000329 | oder durch einen bewiesenen relativen Ward beziehungsweise 000330 | Renormierungssatz aufgehoben werden. 000331 | 000332 | * Falls alpha nur den skalar eingesetzten Parameter 000333 | z=q(alpha)=delta_top exp(-2 alpha) veraendert und alle Operatoren des 000334 | Komplements fest bleiben, ist dessen alpha Konstanz eine zusaetzliche 000335 | Quellenannahme. Genau diese Annahme wird im Original nicht als 000336 | D_xi Familie formuliert. 000337 | 000338 | Der Test ist kein allgemeiner No Go Satz. Spezielle supersymmetrische, 000339 | graduierte oder relativ normalisierte Familien koennen eine Aufhebung 000340 | besitzen. Eine solche Aufhebung braucht jedoch eine angegebene gemeinsame 000341 | Familie und dieselbe Spur beziehungsweise Determinantennorm wie das EM 000342 | Funktional. 000343 | 000344 | 000345 | 6. NULLMODENREDUKTION UND VOLLE QUELLE 000346 | -------------------------------------- 000347 | 000348 | Sei K die transversale Nullmode und Q=I-K. Fuer einen invertierbaren positiven 000349 | Gesamtoperator A_alpha lautet in endlicher Dimension beziehungsweise bei 000350 | einem gemeinsamen endlichen Cutoff, vorausgesetzt A_QQ,alpha ist invertierbar, 000351 | die exakte gewoehnliche Determinantenidentitaet 000352 | 000353 | det A_alpha 000354 | = det(A_QQ,alpha) 000355 | det(A_KK,alpha 000356 | -A_KQ,alpha A_QQ,alpha^(-1) A_QK,alpha). (6) 000357 | 000358 | In unendlicher Dimension gilt dieselbe Form nur fuer eine entsprechend 000359 | definierte RELATIVE Fredholmdeterminantenfaktorisierung: Die verglichenen 000360 | Faktoren muessen Identitaet plus Spurklasse sein, die benoetigten Bloecke 000361 | invertierbar und die Produkte der Nebenbloecke in den passenden 000362 | Schattenklassen liegen. Alle Faktoren muessen dabei dieselbe relative 000363 | Normierung verwenden. Aus (6) folgt insbesondere keine Identitaet 000364 | 000365 | det_zeta A_alpha 000366 | = det_zeta(A_QQ,alpha) det_zeta(Schur_alpha). 000367 | 000368 | Separat zeta regularisierte unendliche Produkte koennen eine multiplikative 000369 | Anomalie sowie lokale Gluing beziehungsweise Gegenfaktoren besitzen. Eine 000370 | solche Formel braucht einen eigenen Beweis in einer gemeinsamen 000371 | Regularisierung. 000372 | 000373 | Eine wirksame Nullmodenreduktion bewahrt die volle Quelle deshalb nur, wenn sie 000374 | 000375 | * den Komplementdeterminanten det(A_QQ,alpha) und 000376 | * die induzierte Selbstenergie im zweiten Faktor 000377 | 000378 | in der jeweils tatsaechlich definierten endlichen, relativen Fredholm oder 000379 | gemeinsam regularisierten Form mitfuehrt. Das blosse Ersetzen von A_alpha 000380 | durch den Kernblock A_KK,alpha verliert im Allgemeinen beide Terme. Im 000381 | determinant-line Sprachgebrauch muessen entsprechend die Quillen Metrik, 000382 | Verbindung, Eta Form und gegebenenfalls lokale Gluingdaten des Pushforwards 000383 | erhalten bleiben. Hier wird keine exakte zeta Determinantenfaktorisierung 000384 | behauptet. 000385 | 000386 | Die bereits bewiesene Schuridentitaet in 000387 | `KMS-AND-CARRIER-TRANSPORT.txt` ist damit vereinbar: Sie verteilt den vollen 000388 | relativen Determinanten auf einen effektiven Carrierblock und den 000389 | Quellenkomplementfaktor. Sie sagt nicht, dass der Komplementfaktor einzeln 000390 | eins ist.