TFPT scientific source excerpt Original repository path: experiments/theory-contracts/source-continuous-marked-time-search-20260922/PROOF.md Original file SHA-256: 62fd2844ecc3e84134d1400335cf4dd469312305d6cfb3eae427aba01beb0ac8 Inclusive original lines: 65-132 Line numbers below refer to the original source. This bounded excerpt is source evidence; it is not a new proof/checker run. Conversation metadata and personal execution details are omitted where indicated. 000065 | 000066 | ## 2. Warum auch andere Logarithmuszweige nicht helfen 000067 | 000068 | Angenommen, ein endlicher zeitunabhängiger GKSL-Generator L auf M4 erfülle 000069 | exp L=Φ^n für n>0. Für ganzzahlige n ist die Endkarte CP. Der Beweis gilt 000070 | auch für andere positive n, sofern überhaupt eine CP-Endkarte vorliegt. 000071 | 000072 | 1. L kommutiert mit exp L=Φ^n. Wegen der drei verschiedenen Eigenwerte 000073 | erhält L die drei Eigenräume V0,V5,V10. Als hermitizitätserhaltende 000074 | Abbildung ist L auf deren hermiteschen Basen reell. 000075 | 2. In einem d-dimensionalen Block gilt exp Lr=λ^n I. Daher 000076 | exp(tr_R Lr)=det(exp Lr)=λ^(nd). Die reelle Exponentialfunktion ist 000077 | injektiv; somit tr_R Lr=nd log λ. Dies erfasst sämtliche reellen 000078 | Rotationsblöcke und Logarithmuszweige, ohne einen Zweig abzuschneiden. 000079 | 3. Mittelt man L über die Clifford-Konjugationen und die markierten 000080 | Permutationen der fünf Γj, bleibt ein GKSL-Generator erhalten. Die 000081 | GKSL-Klasse ist unter unitärer Konjugation und konvexer Mittelung stabil. 000082 | Pauli-Konjugationen diagonalieren jede Superoperatormatrix in der 000083 | Wortbasis. Die anschließenden Permutationen haben genau die Orbits 000084 | 1,5,10 und ersetzen jeden Diagonalblock durch seinen mittleren Spurwert. 000085 | 4. Wegen Schritt 2 ist dieser gemittelte Generator genau 000086 | Lbar=n log_principal Φ. Es wird **nicht** die im Allgemeinen falsche 000087 | Gleichung exp(average L)=average(exp L) benutzt. Die Gleichheit folgt 000088 | aus den Blockspuren und der tatsächlichen endlichen Gruppenwirkung. 000089 | 000090 | Die finite Twirl-Aussage wird an sämtlichen 16 ursprünglichen Wortmatrizen 000091 | geprüft: die 16 Vorzeichencharaktere sind orthogonal; vier benachbarte 000092 | Clifford-Transpositionen verbinden genau die 5er- und 10er-Orbits. Alternativ 000093 | liefert die Spin(5)-Mittelung dasselbe Ergebnis durch Schurs Lemma. 000094 | 000095 | Für einen solchen isotropen Generator ist die kanonische Form 000096 | 000097 | \[ 000098 | \overline L=\alpha\sum_j(\operatorname{Ad}\Gamma_j-\mathrm{id})+ 000099 | \beta\sum_{j