TFPT scientific source excerpt Original repository path: experiments/theory-contracts/elliptic-moebius-source-bridge-20261026/source_recursion_20261028/NATIVE-PAULI-F20-UNITARY-BRIDGE.txt Original file SHA-256: 6ddc3238986183aa3ea4b30890dc5e629be25fc00a0364905ee0479834a6ed33 Inclusive original lines: 1-200 Line numbers below refer to the original source. This bounded excerpt is source evidence; it is not a new proof/checker run. Conversation metadata and personal execution details are omitted where indicated. 000001 | NATIVE PAULI F20 UNITARY BRIDGE 000002 | ================================ 000003 | 000004 | Stand: 2026-10-28 000005 | Atlas Auditrahmen: Revision 37674cdfb8575b71b5fc0290, nur gelesen 000006 | Urteil: DIE DARSTELLUNGSLUECKE ZWISCHEN DER V419 CYCLOTOMISCHEN VIER UND 000007 | EINER TATSAECHLICHEN NATIVEN PAULI VIER IST EXAKT GESCHLOSSEN. 000008 | DIE AUSWAHL DIESER F20 UNTERGRUPPE ALS DIE URSPRUENGLICHE V419 GALOIS CLOCK 000009 | STEHT JEDOCH NICHT BEREITS IN V783. 000010 | 000011 | 1. Was die Originalquellen wirklich geben 000012 | ----------------------------------------- 000013 | 000014 | v419 bezeichnet die cyclotomische Darstellung ausdruecklich. Auf 000015 | V=Q(zeta5) mit Basis 1,zeta5,zeta5^2,zeta5^3 wirken 000016 | 000017 | C_v : Multiplikation mit zeta5, 000018 | G_v : zeta5 -> zeta5^2, 000019 | 000020 | und es gilt 000021 | 000022 | C_v^5=1, G_v^4=1, G_v C_v G_v^-1=C_v^2. (1) 000023 | 000024 | Quelle: 000025 | 000026 | [OMITTED: non-scientific conversation or execution metadata] 000027 | [OMITTED: non-scientific conversation or execution metadata] 000028 | [OMITTED: non-scientific conversation or execution metadata] 000029 | 000030 | v783 friert die native Zwei Qubit Quelle als 000031 | 000032 | C2= 000033 | 000034 | ein. Sie beweist projektiv den vollen Quotienten Sp4(F2), den Pauli16 Kern, 000035 | die zentrale mu4 im G31 Teil und die volle mu8 Skalargruppe im Clifford 000036 | Normalisator. Genau diese Aussagen erlauben den folgenden Test mit 000037 | Originalgeneratoren und ohne neu gewaehlte 4 mal 4 Matrizen. 000038 | 000039 | Quelle: 000040 | 000041 | [OMITTED: non-scientific conversation or execution metadata] 000042 | [OMITTED: non-scientific conversation or execution metadata] 000043 | [OMITTED: non-scientific conversation or execution metadata] 000044 | 000045 | Die aktuelle Atlas Suche nennt die Verbindung zwischen der konkreten 000046 | cyclotomischen Darstellung und dem bezeichneten G31 Compiler weiterhin als 000047 | einen benoetigten expliziten Operatorpfeil. Weder v783 noch die geprueften 000048 | v634 Symbole bezeichnen einen Singer Normalisator als die v419 Clock. Die 000049 | folgende Untergruppe ist daher aus der Originalquelle konstruiert verfuegbar, 000050 | aber nicht in ihr bereits semantisch als Galoisclock markiert. 000051 | 000052 | 2. Die tatsaechlichen Pauli Woerter 000053 | ----------------------------------- 000054 | 000055 | Rechts wirkt jeweils zuerst. Setze in der eingefrorenen v783 Quelle 000056 | 000057 | C_raw=(I tensor H) CNOT (S tensor I) (H tensor I), 000058 | C_p =-i C_raw, 000059 | 000060 | G_raw=CNOT (I tensor S) (S tensor I), 000061 | G_p =(Y tensor Z) G_raw. (2) 000062 | 000063 | Alle Faktoren gehoeren zum tatsaechlichen v783 Clifford Generatorensatz 000064 | beziehungsweise zu seinem bewiesenen Pauli und zentralen Kern. Exakt gilt 000065 | 000066 | C_raw^5=iI, 000067 | C_p^5=I, 000068 | G_p^4=I, 000069 | G_p C_p G_p^-1=C_p^2. (3) 000070 | 000071 | Eine vollstaendige Suche ueber Pauli16 mal mu8 findet bei festem C_p genau 000072 | vier Korrekturen von G_raw. Sie sind 000073 | 000074 | i^k (Y tensor Z) G_raw, k=0,1,2,3. (4) 000075 | 000076 | Sie unterscheiden sich nur durch die bereits vorhandene zentrale mu4. 000077 | Damit ist (C_p,G_p) eine echte F20 Untergruppe der nativen Quelle. Es ist 000078 | kein nachtraeglich passend gebautes abstraktes F20. 000079 | 000080 | Ihr Charakter ist auf allen zwanzig Elementen 000081 | 000082 | 4 am Einselement, 000083 | -1 auf den vier nichttrivialen C5 Elementen, 000084 | 0 auf allen drei uebrigen C4 Nebenklassen. (5) 000085 | 000086 | Das ist der eindeutige komplexe irreduzible Vierercharakter von F20. 000087 | 000088 | 3. Exakter und metrischer Intertwiner 000089 | ------------------------------------- 000090 | 000091 | Die richtige Hermitesche Form auf der cyclotomischen v419 Basis ist die 000092 | Feldspurform 000093 | 000094 | H=5 I4-J4 000095 | 000096 | mit Diagonale 4 und Nebendiagonale minus 1. Sie ist positiv mit Eigenwerten 000097 | 1,5,5,5 und Determinante 125. Beide v419 Generatoren erhalten H exakt. 000098 | 000099 | Der folgende Intertwiner loest gleichzeitig beide Generatorgleichungen: 000100 | 000101 | [-1-i i i i] 000102 | [-1+i -2-i 1 1] 000103 | T = [ 1-i -1 -1 2+i] 000104 | [-1+i 1 -2-i 1]. (6) 000105 | 000106 | Es gilt 000107 | 000108 | T C_v=C_p T, 000109 | T G_v=G_p T, 000110 | det T=-8+44i, 000111 | T^dagger T=2H. (7) 000112 | 000113 | Folglich ist 000114 | 000115 | U=T/sqrt(2) (8) 000116 | 000117 | ein metrischer Isomorphismus von (V_v419,H) auf die native Pauli Vier mit 000118 | Standardmetrik: 000119 | 000120 | _standard=_H. (9) 000121 | 000122 | Der Raum aller komplexen Intertwiner in (7) ist eindimensional. Nach der 000123 | Metrikbedingung bleibt genau eine gemeinsame U(1) Phase. Damit wird die 000124 | Darstellung nicht nur ueber gleiche Charaktere erkannt. Sie ist durch einen 000125 | expliziten unitary transport identifiziert. 000126 | 000127 | 4. Quarterlift und konforme Sp4 Form 000128 | ------------------------------------ 000129 | 000130 | In der nativen Pauli Basis sei 000131 | 000132 | J0=diag(J2,J2), J2=[[0,1],[-1,0]]. 000133 | 000134 | Dann gilt unmittelbar 000135 | 000136 | C_p^T J0 C_p=J0, 000137 | G_p^T J0 G_p=i J0. (10) 000138 | 000139 | Der bereits in v783 bewiesene zentrale mu8 Skalar normalisiert daher 000140 | 000141 | Ghat_p=zeta8^-1 G_p, 000142 | 000143 | mit 000144 | 000145 | Ghat_p^T J0 Ghat_p=J0, 000146 | Ghat_p^4=-I, 000147 | Ghat_p^8=I. (11) 000148 | 000149 | Dies ist genau der Quarterlift des konformen Sp4 Charakters. Der Intertwiner 000150 | transportiert die zuvor auf v419 gefundene Form Omega_+=iA+B zu 000151 | 000152 | (T^-1)^T Omega_+ T^-1=((1-2i)/10) J0. (12) 000153 | 000154 | Die mu8 Phase wird hier nicht neu gewaehlt. Sie ist Teil der nativen v783 000155 | Quelle. Zu unterscheiden sind trotzdem zwei Gruppen: 000156 | 000157 | * (C_p,G_p) ist das exakte F20 mit G_p von Ordnung 4. 000158 | * (C_p,Ghat_p) ist seine symplektische zentrale Erweiterung mit Ordnung 8. 000159 | 000160 | 5. Was mit dem Zehner geschieht 000161 | ------------------------------- 000162 | 000163 | Der fruehere rationale Intertwiner zwischen 000164 | 000165 | chi^-1 tensor Sym2(V_v419) 000166 | 000167 | und der Hodge Darstellung Lambda2(Perm5) hat Determinante 3i. Er ist ein 000168 | gueltiger algebraischer Intertwiner, aber fuer die korrekte Feldspurmetrik 000169 | nicht bereits unitaer. Der neue Checker prueft diesen Unterschied direkt. 000170 | 000171 | Sei H_sym die von H induzierte Metrik auf Sym2(V), sei A der rationale 000172 | Zehnerintertwiner und die Zielmetrik die Standardmetrik auf Lambda2(C5). 000173 | Dann liegt 000174 | 000175 | P^2=H_sym^-1 A^dagger A (13) 000176 | 000177 | im F20 Kommutanten und ist positiv bezueglich H_sym. Mit der positiven 000178 | Wurzel P liefert 000179 | 000180 | U10=A P^-1 (14) 000181 | 000182 | den metrischen Polartransport. Diese Konstruktion aendert keine 000183 | Gruppenwirkung und ersetzt keinen Cocycle. 000184 | 000185 | Die Zehnerdarstellung zerfaellt exakt als 000186 | 000187 | 2 V4 plus chi_1 plus chi_3. (15) 000188 | 000189 | Ihr komplexer Kommutant ist daher 000190 | 000191 | M2(C) plus C plus C, 000192 | 000193 | von Dimension 6. Algebraische Zehnerintertwiner sind deshalb nicht eindeutig. 000194 | Nach der Metrikbedingung bleibt die erwartete Eichfreiheit 000195 | 000196 | U(2) mal U(1) mal U(1). (16) 000197 | 000198 | Dies erklaert die fruehere sechsdimensionale Loesungsmenge. Die eindeutige 000199 | Viererbruecke (6) bis (9) beseitigt sie nicht kuenstlich. 000200 |