TFPT scientific source excerpt Original repository path: experiments/theory-contracts/equivariant-monodromy-20261023/THEOREMS.txt Original file SHA-256: e96dab9d854b4fa6c4c93dd7792fa8769d0ee41abdafa0072817d44990ac3b85 Inclusive original lines: 35-161 Line numbers below refer to the original source. This bounded excerpt is source evidence; it is not a new proof/checker run. Conversation metadata and personal execution details are omitted where indicated. 000035 | überein. Das lokale Original bestätigt die beiden oben angegebenen Formeln. 000036 | 000037 | 1. Allgemeiner Liftsatz mit präziser Quotientierung 000038 | 000039 | Sei 1->A->E->G->1 zentral, A abelsch mit trivialer G Wirkung, und s eine 000040 | normierte Sektion. Schreibe s(g)s(h)=c(g,h)s(gh) additiv in A. 000041 | Für einen Homomorphismus rho:Pi->G gilt: 000042 | 000043 | Ein Lift rhohat existiert genau dann, wenn [rho*c]=0 in H^2(Pi,A). 000044 | Falls er existiert, bilden die basierten Lifts einen Torsor über 000045 | Hom(Pi,A)=H^1(Pi,A). 000046 | 000047 | Beweis. Jeder Lift ist eindeutig rhohat(x)=b(x)s(rho(x)). Die 000048 | Homomorphiegleichung lautet delta b=-rho*c. Dies ist genau die Behauptung 000049 | zur Existenz. Die Differenz zweier Lösungen hat delta(b-b')=0, ist also 000050 | ein Homomorphismus; jeder solche Unterschied liefert wieder eine Lösung. 000051 | Konjugation durch A wirkt trivial. Bei zusätzlichem Quotientieren durch 000052 | das Urbild von C_G(im rho) ist dessen Wirkung auf diesem Torsor zu bilden. 000053 | Diese Wirkung muss allgemein weder trivial noch linear sein. Daher ist 000054 | der unbasierte Quotient allgemein kein H^1 Torsor. Beweis abgeschlossen. 000055 | 000056 | Peripher vorgeschrieben bedeutet hier: Für Untergruppen P_j<=Pi sind 000057 | konkrete Lifts lambda_j von rho|P_j vorgeschrieben. Wähle dort 000058 | lambda_j=b_j s rho. Eine Lösung ist ein b mit delta b=-rho*c und 000059 | b|P_j=b_j. Dies ist das relative Kokettenproblem. Nach Existenz eines 000060 | absoluten Lifts b0 entsteht eine eindeutige Restklasse 000061 | 000062 | [(b_j-b0|P_j)_j] in coker[Hom(Pi,A)->prod_j Hom(P_j,A)]. 000063 | 000064 | Sie verschwindet genau dann, wenn die vorgeschriebenen Lifts anschließen. 000065 | Die vorhandenen Lösungen bilden einen Torsor über den Kern dieser 000066 | Restriktionsabbildung. Das folgt durch Subtraktion von b0 und beweist 000067 | Existenz und Klassifikation ohne eine ungenannte Randkonjugation. 000068 | Vorgeschriebene Konjugationsklassen statt konkreter lambda_j erfordern 000069 | zusätzliche Quotienten; diese sind kein Bestandteil dieser Aussage. 000070 | 000071 | Eine endliche orientierungserhaltende Wirkung K auf einer markierten 000072 | punktierten Fläche U wird durch die Fundamentalgruppe des Quotientenstapels 000073 | [U/K] beschrieben. Ihre Gruppe Pi sitzt in 1->pi1(U)->Pi->K->1. 000074 | Eine strikte äquivariante G Monodromie ist ein Homomorphismus Pi->G. 000075 | Damit gilt der eben bewiesene Satz mit genau dieser Gruppe Pi. 000076 | Fixpunkte dürfen nicht durch die gewöhnliche Fundamentalgruppe des 000077 | topologischen Quotienten vergessen werden. Bei nicht zentralem A gilt 000078 | stattdessen derselbe Kokettenbeweis mit der zurückgezogenen Modulwirkung; 000079 | H^1 und H^2 sind dann mit diesem Modul zu nehmen. 000080 | 000081 | 2. Expliziter Satz für jede orientierte punktierte Quotientenfläche 000082 | 000083 | Die Quotientenfläche habe Genus h, p>=1 Punkturen und konische Punkte 000084 | mit Ordnungen n1,...,nt, ohne Spiegelränder. Dann besitzt Pi die Präsentation 000085 | 000086 | . 000088 | 000089 | Eliminiere y_p. Dadurch folgt 000090 | Pi = F_(2h+p-1) * C_n1 * ... * C_nt. 000091 | 000092 | Wähle beliebige Lifts X_j der rho(x_j). Setze omega_j=X_j^n_j in A. 000093 | Ein strikter Lift existiert genau dann, wenn für jedes j 000094 | 000095 | omega_j=0 in A/n_j A. 000096 | 000097 | Falls ja, ist seine basierte Liftmenge ein Torsor über 000098 | A^(2h+p-1) x prod_j A[n_j]. 000099 | Für endliches A ist dies zugleich die genaue Zahl der Lifts. 000100 | 000101 | Beweis. Ändert man X_j zu a X_j, wird seine n_j te Potenz um n_j a 000102 | geändert. Daher sind genau die angegebenen Klassen wohldefiniert. 000103 | Nach Eliminieren von y_p sind die Potenzrelationen die einzigen 000104 | Relationen. Ihre getrennte Lösbarkeit ist somit hinreichend und notwendig. 000105 | Die freien Generatoren können beliebig geändert werden; bei X_j bleiben 000106 | genau A[n_j] Möglichkeiten. Dies beweist auch die vollständige 000107 | Klassifikation. Äquivalent ist H^2(Pi,A)=directsum_j A/n_j A; die 000108 | Klasse wird durch ihre Einschränkungen auf die zyklischen Faktoren 000109 | bestimmt. Das folgt auch aus den Klassifizierungsräumen der freien Produkte. 000110 | Der Präsentationsbeweis benötigt diese Identifikation nicht als Annahme. 000111 | 000112 | Für U=P^1 minus mu_m und z->exp(2pi i/m)z besitzt U/C_m eine Punktur 000113 | und die beiden konischen Punkte0,unendlich der Ordnung m. Deshalb 000114 | Pi=C_m*C_m=. 000115 | Wähle a=C, b=r0 C. Dann gamma_j=a^j b a^(-j-1), 000116 | prod_(j=0)^(m-1) gamma_j=b^m a^(-m)=1. 000117 | Dies zeigt die konkrete Verbindung zwischen der Präsentation und den 000118 | geordneten Meridianen. Der Index m Kern zur Abbildung a,b->1 in C_m 000119 | ist pi1(U)=F_(m-1). 000120 | 000121 | 3. Determinantenklasse und der allgemeine Teilbarkeitssatz 000122 | 000123 | Für die vorhandene Erweiterung gilt c(g,h)=-epsilon(g)epsilon(h) mod4. 000124 | Die Kokykelidentität folgt aus epsilon(gh)=epsilon(g)+epsilon(h) 000125 | -2epsilon(g)epsilon(h) als Gleichung mit Werten0,1. Es gilt 000126 | 2c=delta(-epsilon), also hat [c] höchstens Ordnung2. Über einer 000127 | Reflexion r ergibt s(r)^2=z^-1. Kein anderer Lift z^k s(r) ist eine 000128 | Involution, weil sein Quadrat z^(2k-1) ist. Daher ist [c] nicht null 000129 | und hat genau Ordnung2. 000130 | 000131 | Die Abbildung (a,g)->(g,2a-epsilon(g) mod8) identifiziert E mit 000132 | {(g,t) in G x Z/8 : t mod2=epsilon(g)}. 000133 | Damit ist [c] der Rückzug der Klasse der Folge 000134 | 0->Z/4->Z/8->Z/2->0 entlang epsilon. 000135 | Auf jeder Untergruppe H spaltet E genau dann, wenn epsilon|H einen 000136 | Homomorphismus H->Z/8 mit dieser Restklasse besitzt. 000137 | 000138 | Satz. Sei m gerade und rho:C_m*C_m->G gegeben, wobei die beiden 000139 | Generatorbilder entgegengesetzte epsilon Werte haben. Dann existiert 000140 | ein strikter Lift in genau diese Erweiterung E genau dann, wenn 8|m. 000141 | Wenn er existiert, gibt es genau16 basierte Lifts. 000142 | 000143 | Beweis. Für g^m=1, e=epsilon(g), gilt für jeden zentral veränderten Lift 000144 | (z^k s(g))^m = z^(mk-(m/2)e). 000145 | Damit ist sein Obstruktionswert -(m/2)e in (Z/4)/m(Z/4). 000146 | Bei entgegengesetzten e Werten ist genau ein Wert -(m/2). 000147 | Für m ungerade gibt es bereits keine solche G Darstellung, da g^m=1 000148 | epsilon(g)=0 erzwingt. Für m=2 mod4 ist m(Z/4)={0,2} und m/2 ungerade; 000149 | für m=4 mod8 ist m(Z/4)=0 und m/2=2 mod4. Beides ist unlösbar. 000150 | Für8|m verschwinden beide Werte und A[m]=A; Abschnitt2 gibt4^2=16. 000151 | Keine neue Erweiterung und keine Änderung der Koeffizienten wurde benutzt. 000152 | 000153 | Ein positives Beispiel liegt bereits in G selbst. Für 000154 | w=(-1-i,-1-i,0,0), r=I-ww*/2, 000155 | 2Re C=[[0,0,-1,-1],[0,0,-1,-1],[0,0,1,-1],[0,0,-1,1]], 000156 | 2Im C=[[1,-1,0,0],[-1,1,0,0],[1,1,0,0],[1,1,0,0]] 000157 | gilt C in G, C^8=I, C^4!=I und(rC)^8=I. Dies wurde exakt mit 000158 | den Originalmatrizen geprüft. Die Darstellung C8*C8->G mit Bildern 000159 | C,rC besitzt daher16 Lifts in dieselbe Gruppe E. Das Beispiel belegt 000160 | die positive Richtung des allgemeinen Satzes, ohne eine zusätzliche 000161 | Erweiterung oder eine neue vollständige Monodromieklassifikation einzuführen.