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000036 | ## 3. Explizite Konstruktion und vollständige Klassifikation der betrachteten Lifts
000037 | 
000038 | Sei \(E\) ein unitäres komplexes Rang-5-Bündel, \(D=\det E\). Wir verlangen, dass der Spin(10)-Anteil die übliche reelle Darstellung von U(5) überdeckt. Für diese feste Projektion lässt sich die Quadratwurzel lokal auf der Doppelüberdeckung
000039 | \[
000040 | \widetilde{U(5)}=\{(g,z):z^2=\det g\}
000041 | \]
000042 | verwenden. Auf dem Halbspinor wirkt der Lift als
000043 | \[
000044 | s(g,z)|_{16}=z^{-1}\Lambda^{\rm even}g.
000045 | \]
000046 | Unter \(z\mapsto-z\) wechselt sein Vorzeichen.
000047 | 
000048 | Für ganze Zahlen \(m_1,\ldots,m_4\) mit
000049 | \[
000050 | \boxed{\sum_{j=1}^4m_j=-2}
000051 | \]
000052 | definiere die Familienwirkung
000053 | \[
000054 | A_m(g,z)=\operatorname{diag}
000055 | \bigl(z^{2m_1+1},\ldots,z^{2m_4+1}\bigr).
000056 | \]
000057 | Ihre Determinante ist eins. Der Wechsel \(z\mapsto-z\) multipliziert sie mit \(-I_4\). Daher ist
000058 | \[
000059 | \boxed{\iota_m(g)=[s(g,z),A_m(g,z)]\in K}
000060 | \]
000061 | von der lokalen Wurzel unabhängig und ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Er kann unmittelbar auf die U(5)-Übergangsfunktionen von E angewandt werden.
000062 | 
000063 | Auf `(16,4)` ergibt sich ohne gebrochene Potenzen der globale Träger
000064 | \[
000065 | \boxed{
000066 | W_m=\Lambda^{\rm even}E\otimes
000067 | \left(D^{m_1}\oplus D^{m_2}\oplus D^{m_3}\oplus D^{m_4}\right).
000068 | }
000069 | \tag{1}
000070 | Dieser hat Rang 64. Die Quadratwurzel ist im gemeinsamen Träger vollständig verschwunden.
000071 | 
000072 | **Klassifikationsumfang.** Dies sind bis auf Familienkonjugation alle kontinuierlichen Homomorphismen dieser Art mit festem gewöhnlichem U(5)-Spinprojektionsanteil. Denn der Lie-Algebrahomomorphismus \(\mathfrak{su}(5)\to\mathfrak{su}(4)\) muss null sein: Ein nichttrivialer Homomorphismus der einfachen Algebra wäre injektiv, was wegen \(24>15\) unmöglich ist. Die Familienwirkung faktorisiert also über den Wurzelkreis z. Seine SU(4)-Gewichte sind ganze \(\ell_j\) mit Summe null. Die erforderliche Wirkung von \(z=-1\) verlangt ungerade \(\ell_j\). Mit \(\ell_j=2m_j+1\) folgt exakt die obige Familie. Allgemeine nichtnatürliche Bündelzuordnungen, zusätzliche Materie oder andere Projektionen liegen außerhalb dieses Satzes.
000073 | 
000074 | **Ladungen und Produkte.** Auf dem Standardmodell-Unterträger \(S(U(3)\times U(2))\subset SU(5)\) gilt \(\det g=1\). Die Faktoren \(D^{m_j}\) haben dort keine zusätzliche Hyperladung. Deshalb enthält W genau vier Kopien der ursprünglichen 16 Ladungsgewichte. In den ursprünglichen Ganzzahleinheiten sind die Multiplizitäten
000075 | \[
000076 | (-4:12),\ (-3:8),\ (0:4),\ (1:24),\ (2:12),\ (6:4).
000077 | \]
000078 | Die ganze E₈-Verzweigung ist eine Darstellung von K. Daher sind ihre Lie-Produkte und die invariante hermitesche Form beziehungsweise Killingform unter jeder dieser Übergangsfunktionen wohldefiniert. Das ist eine Aussage über Faserprodukte und innere Produkte, noch keine CAR-Feldalgebra oder raumzeitliche Wechselwirkung.