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000001 | Fortsetzung 36: Die Tripletströme erzeugen genau so(16), und die native K-Wirkung schließt den Träger
000002 | 
000003 | Erster Beweis (tfpt-checks-36/carrier_words.py): Ich berechne exakt, welche Unteralgebra die eingeschränkten Originalströme erzeugen, also C_a und X_{i,a} mit a ∈ F, zusammen mit ihren Adjunkten. Grundlage sind die E8-Wurzeln in D5×A3-Koordinaten und der vollständige Abschluss unter Kommutatoren. Danach bestimme ich die tatsächlichen Worte, die den vollen 10er-Träger liefern.
000004 | 
000005 | Satz 1: Die eingeschränkten Ströme erzeugen genau so(16) ⊃ u(8)
000006 | 
000007 | Die 18 Ströme C_a (a ∈ F) und X_{i,a} (i = 1…5, a ∈ F) mit ihren Adjunkten erzeugen 112 der 240 Wurzeln. Die Wurzelspanne hat Rang 8, also ist die Unteralgebra D8 = so(16), nicht E8.
000008 | 
000009 | E8-Klasse	gesamt	erzeugt	Bedeutung
000010 | D5-Wurzeln	40	20	nur su(5) ⊂ so(10)
000011 | A3-Wurzeln	12	6	nur su(3)_F, keine Wurzeln O–F
000012 | (10,6)	60	30	(+e_i, Λ²F) und konjugiert, (−e_i, Λ²F): 0 von 15
000013 | (16,4) + (16̄,4̄)	128	56	C, X und zusätzlich (10_{SU5}, O)
000014 | 
000015 | Die Struktur ist so(16) ⊃ u(8) mit 8 = 5 ⊕ 3_F. D5-Träger und Familientriplett bilden also einen gemeinsamen Achtervektor:
000016 | 
000017 | Die u(8)-Wurzeln sind 20 + 6 + 30 = 56.
000018 | Λ²8 = Λ²5 ⊕ (5⊗3) ⊕ Λ²3 = 10 + 15 + 3 = 28. Das sind genau (10,O), X und C.
000019 | Der Strom Y_{i,ab} = [C_a, X_{i,b}] ist der Block E_{i,ĉ} ∈ Hom(3_F, 5), wobei ĉ das Komplement von {a, b} in F ist.
000020 | 
000021 | Die Unteralgebra ist maximal. Fügt man eine beliebige der 128 Komplementwurzeln hinzu, entsteht ganz E8 (geprüft). Daraus folgt: Kein Wort aus denselben Tripletdaten erreicht die zweite Hälfte von (10,6). Die Zählung „30 statt 60 reell“ ist damit kein Zählargument mehr, sondern ein exakter Satz über den Abschluss.
000022 | 
000023 | Satz 2: Die tatsächlichen Worte zum vollen Träger
000024 | 
000025 | Die fehlende Hälfte liegt im 128er-Spinor von so(16). Darin liegen auch zwei Wurzelfamilien, die schon zur ursprünglichen K = (Spin(10)×SU(4))/Z₄ gehören:
000026 | 
000027 | die Wurzeln von so(10) außerhalb von u(5), nämlich ±(e_i + e_k);
000028 | die SU(4)-Wurzeln zwischen O und F, nämlich f₀ − f_a.
000029 | 
000030 | Jede der beiden Familien allein schließt zu E8 ab (geprüft: 240 von 240). Ein einziger Kommutator genügt:
000031 | 
000032 | [E_{−(e_k+e_i)}, Y_{i,ab}] = (−e_k, f_a + f_b) für k ≠ i.
000033 | 
000034 | Beispiel, geprüft: Y_{1,12} = [C₁, X₁₂] ergibt mit E_{−(e₀+e₁)} die (10,6)-Wurzel (−e₀, f₁+f₂).
000035 | 
000036 | Also gilt:
000037 | 
000038 | Y-Strom, sein Adjunkt und ein Schritt der nativen Spin(10)-Wirkung ergeben den vollen 10 ⊗ Λ²F, komplex 30-dimensional, mit den Adjunkten 60 reell.
000039 | Ein O-Fermion wird nicht gebraucht.
000040 | Ein voller 16 ⊗ F-Eingang wird nicht vorausgesetzt. Die Spin(10)-Bahn von C_a liefert ihn.
000041 | 
000042 | Die Vervollständigung benutzt nur die ursprüngliche K-Wirkung auf E8-Strömen. In u(8)-Sprache ist der fehlende Schritt genau der Teil von so(10), der bezüglich der u(5)-Komplexstruktur antilinear ist und 5 ↔ 5̄ verbindet.
000043 | 
000044 | Satz 3: Das Λ² des Stroms wählt den Binärcharakter der U₆-Linien
000045 | 
000046 | Der E8-Strom enthält in (10,6) nur Λ²F, keinen symmetrischen Familienteil. Auf dem geometrischen Sechser ist U₆³ = R³ = s, und das ist die Transposition (a,b) ↔ (b,a), also e_j ↔ e_{j+3} im Orbitrahmen. Auf diesem Orbit-Sechser ist Antisymmetrie dasselbe wie U₆³ = −1, also λ³ = −1. Die Prüfung über alle sechs Eigenwerte:
000047 | 
000048 | U₆-Eigenwert	antisymmetrisch, also für Y sichtbar
000049 | ρ, −1, ρ⁵	ja
000050 | 1, ω, ω²	nein
000051 | 
000052 | Bei geometrischem Austausch (Produkte tragen +U₆) liegt die ρ-Linie also genau im Λ²-Sektor, den der E8-Strom aufnehmen kann. Der symmetrische Teil koppelt an keinen E8-Strom. Damit wird die frühere Zuordnung „(ω², −1) wählt ρ“ zu einer Folge der Antisymmetrie des Stroms.
000053 | 
000054 | Gegenprobe. Läuft die Komposition μ → Y über geordnete CAR-Paare (−U₆), dreht sich die Zuordnung um: Λ² entspricht dann geometrisch λ³ = +1, und ρ fällt heraus. Die Binärfrage ist damit exakt auf eine Typfrage reduziert. Ist die Familienantisymmetrie von Y die des geometrischen Produkts oder die eines fermionischen Austauschs?
000055 | 
000056 | Kubischer Teil. Ein voll abgestiegener Leser lässt in Λ² nur λ = −1 übrig. Die ρ-Komponente (c-Charakter ω) überlebt nur, wenn die Deckwirkung zugleich auf dem Familienindex ĉ von Y als P_c ∈ SU(3)_F wirkt. Das wäre keine neue Linie: su(3)_F liegt in der erzeugten so(16), und P_c als Permutation mit Determinante +1 liegt in SU(3). Die ω²-Fourierkomponente von Y im Familienindex kompensiert dann die ρ-Komponente.
000057 | 
000058 | Exakte nächste Prüfungen
000059 | Deckelement in K: Ist das native K-Element über dem Deck c auf dem Familien-4 gleich diag(1, P_c)? Zu vergleichen ist es mit der bekannten parallelen K-Automorphie F_q = diag(ω, ω, −ω, −1), die diagonal ist und daher nicht P_c sein kann. Fällt der Test negativ aus, ist der ρ-Kanal in diesem Strom ausgeschlossen. Fällt er positiv aus, ist er strukturell getragen.
000060 | Austauschtyp: geometrisch oder CAR für die Familienantisymmetrie von μ → Y. Das entscheidet den Binärcharakter.
000061 | Normalleser: Vermutung, zu prüfen: Die Rang-1-Projektion −N c(dz) = z(I + Z) wählt genau die u(5)-holomorphe Trägerhälfte 5̄. Dann wäre die u(8)-Teilalgebra der für den Normalleser sichtbare Teil, und der Spin(10)-Schritt aus Satz 2 entspräche dem zweiten Normalkanal. Zu testen an den Eckjets von (N+S) zusammen mit dem Trägerkoeffizienten.
000062 | 
000063 | Der vollständige physische Abschluss bleibt unbewiesen.