TFPT scientific source excerpt
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000130 |       = (U A_C A_P^(-1) U*)
000131 |         (U A_P U* A_P^(-1))
000132 |         (A_P A_C^(-1)).
000133 | 
000134 | Der erste und der letzte Faktor sind Fredholm Determinanteninversen voneinander,
000135 | weil der erste nur die unitaere Konjugation von `A_C A_P^(-1)` ist. Daher
000136 | 
000137 |     det_Fredholm[(I-zC')(I-zC)^(-1)]
000138 |       = det_Fredholm[(I-zQ)(I-zP)^(-1)]
000139 |       = (1-z)^(wind(det G)).
000140 | 
000141 | Die Voraussetzungen sind genau die benoetigten Operatorvoraussetzungen:
000142 | `C-P` muss spurklassig sein, `M_G` muss auf demselben Hilbertraum wirken und
000143 | der Kommutator mit dem Hardy Projektor muss die spurklassige Paarbedingung
000144 | erfuellen. Eine glatte Matrixschleife erfuellt die letzte Bedingung. Der Satz
000145 | waehlt weder `C` noch `G`; er transportiert deren vorhandenen Index.
000146 | 
000147 | ## 4. Was die Originaldeterminantenklasse wirklich liefert
000148 | 
000149 | `documents/archive--paper-latex--tfpt-42/sections/
000150 | 012-subsection-bosonic-relative-index-and-higgs-selection.tex:3-31` definiert
000151 | 
000152 |     L_2 = det E_2,          L_3 = det E_3
000153 | 
000154 | auf der kompakten Normalsphaere und setzt explizit
000155 | 
000156 |     g_2(phi)=exp(i phi),    g_3(phi)=1,
000157 |     (c_1(L_2),c_1(L_3))=(1,0).
000158 | 
000159 | Die Zeilen 34 bis 82 begruenden diese als eindeutige minimale nichtnegative
000160 | Determinantenklasse. Zeilen 96 bis 130 lesen daraus den schwachen bosonischen
000161 | Index eins und `H^0(O(1))=C^2` ab. Zeilen 182 bis 201 identifizieren den
000162 | erhaltenen bosonischen Block als Rang zwei.
000163 | 
000164 | Damit liegt bereits eine echte Grad eins Kupplung vor. Sie paart mit dem
000165 | Kreis Hardyzyklus zu Index eins. Fuer diese topologische Aussage ist weder ein
000166 | Vektor in `E_2` noch ein Rang eins Projektor noetig. Falls `E_2` als wirklicher
000167 | Rang zwei Vektorbundel auf derselben Sphaere und mit einer Matrixkupplung
000168 | `G_2:S1->U(2)` realisiert wird, gilt automatisch
000169 | 
000170 |     det G_2 = g_2,          wind(det G_2)=1,
000171 | 
000172 | und Abschnitt 2 liefert `1-z`.
000173 | 
000174 | Das Original schreibt die Determinantenlinienkupplung `g_2` in diesem
000175 | bosonischen Indexabschnitt hin. Unter der dort verwendeten woertlichen
000176 | Vektorbundellesart besitzt `E_2` natuerlich eine `U(2)` Uebergangsfunktion
000177 | `G_2` mit `det G_2=g_2`; ein bestimmter Matrixrepraesentant ist fuer den Index
000178 | nicht noetig. Nicht geschrieben wird der Operator `M_{G_2}` auf demselben
000179 | `H_circle tensor E_2`, auf dem die treue Quellenkovarianz `C_Sigma` lebt. Die
000180 | Klasse bestimmt deshalb den Index, aber noch nicht den gemeinsamen
000181 | Quelloperator.
000182 | 
000183 | ## 5. Faserstabilisator, aeussere Determinantenlinie und Spinstruktur
000184 | 
000185 | Die erste Fassung dieses Berichts las den internen Stabilisator zu stark als
000186 | globale Strukturgruppenreduktion. Das war falsch und wird hier ausdruecklich
000187 | korrigiert.
000188 | 
000189 | `tfpt-42/sections/005-subsection-internal-carrier-stabilizer-and-one-family-pa.tex:72-98`
000190 | bestimmt den **faserweisen determinantenerhaltenden Automorphismenstabilisator**
000191 | 
000192 |     G_car = S(U(3) x U(2)).
000193 | 
000194 | Dieser Satz sagt nicht, dass die Uebergangsfunktionen eines globalen
000195 | Carrierbundels in `S(U(3)xU(2))` liegen oder dass seine Determinantenlinie
000196 | trivial ist. Sei vielmehr
000197 | 
000198 |     E = E_3 direct-sum E_2,
000199 |     L = det E = L_3 tensor L_2.
000200 | 
000201 | Ein festes, auch nichttriviales `L` erlaubt weiterhin die faserweisen
000202 | Automorphismen mit Determinante eins. Die Uebergangsfunktionen von `E` duerfen
000203 | in `U(3)xU(2)` liegen und ihre Gesamtdeterminante sind die Uebergangsfunktionen
000204 | von `L`. Daher ist
000205 | 
000206 |     (c_1(L_2),c_1(L_3))=(1,0),
000207 |     c_1(L)=1
000208 | 
000209 | mit dem angegebenen internen Stabilisator vertraeglich. Es gibt keinen
000210 | Zwang zu einem zusaetzlichen Grad `-1` und keinen Widerspruch.
000211 | 
000212 | Die historische Herkunft ist sogar explizit. `tfpt-31/sections/
000213 | 007-subsection-occupancy-and-boundary-to-bulk-bridge.tex:142-169` und die
000214 | entsprechende Stelle in `tfpt-32`, Zeilen 122 bis 149, nehmen einen totalen
000215 | Seam Twist eins auf dem orientierten Doppelcover. Der Half Angle Spinlift des
000216 | Rang zwei Blocks gibt eine volle Determinantenwindung in `L_2`; die Farbklasse
000217 | `L_3` bleibt trivial. `tfpt-42` ersetzt diese Formulierung durch die konkrete
000218 | Kupplung auf der kompakten Normalsphaere. Das ist eine vorhandene aeussere
000219 | Seam Determinantenlinie, keine nachtraeglich erfundene Kompensation.
000220 | 
000221 | Unter der woertlichen Vektorbundellesart folgt ausserdem exakt
000222 | 
000223 |     w_2(E_R) = c_1(E) mod 2 = c_1(L) mod 2
000224 |              = 1 in H^2(S2,Z2)
000225 | 
000226 | auf `S2`. Das zugrunde liegende reelle Rang zehn Buendel besitzt daher keinen
000227 | gewoehnlichen `Spin(10)` Lift. Als komplexes `U(5)` Buendel besitzt es aber den
000228 | kanonischen `Spin^c(10)` Lift. Seine charakteristische Linie ist `L`, bis auf
000229 | die konventionelle Dualisierung bei der Wahl des Exterioralgebra Spinormoduls.
000230 | Die Modulo zwei Klasse und damit die Aussage bleiben bei dieser Dualisierung
000231 | gleich. Das im Original verwendete
000232 | 
000233 |     S+ = Lambda^even E
000234 | 
000235 | ist, nach der ueblichen Dual beziehungsweise Konjugationskonvention, genau die
000236 | Exterioralgebraform des `Spin^c` Fockmoduls. Dafuer ist keine Quadratwurzel von
000237 | `L` zu waehlen. Die nichttriviale Determinantenlinie verhindert diese
000238 | Konstruktion nicht.
000239 | 
000240 | Fullv21 A4, `sections/001-section-introduction-the-problem-of-parameters.tex: