TFPT scientific source excerpt
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000181 | 
000182 | wobei v_1 das Gewicht 1/3 und v_2 das Gewicht 2/3 traegt. Setze
000183 | 
000184 |     U=diag(1,i,-i),       p_k=i^k,
000185 |     H_k=span(U^k v_1,U^k v_2),
000186 |     h_k=C U^k v_2.
000187 | 
000188 | Die absteigende volle Flagge am Punkt p_k ist
000189 | 
000190 |     E_{p_k} superset H_k superset h_k superset 0.
000191 | 
000192 | Der Stabilitaetstest setzt hier zunaechst das algebraische Objekt fest: das
000193 | splitte Buendel O(-2)+O(-1)^2 wird ueber der affinen Karte in seiner
000194 | Standardbasis trivialisiert und traegt an p_k die obigen Flags. In genau diesem
000195 | Objekt bleiben die endlichen Faserkoordinaten unveraendert.
000196 | 
000197 | Ob dieselbe affine Basis tatsaechlich direkt aus der A0* Verbindung folgt, ist
000198 | eine zweite Frage. Setze w=1/z und N=diag(2,1,1). Die affine Verbindungsform
000199 | mit endlichen Residuen A_k hat am Punkt unendlich den fuehrenden Term
000200 | -N dw/w. Fuer O(-2)+O(-1)^2 ist der diagonale Framewechsel
000201 | 
000202 |     g(w)=diag(w^2,w,w).
000203 | 
000204 | Waere dies bereits die richtige Deligne Lattice, muesste
000205 | 
000206 |     Gamma_infty = g^-1 Gamma_aff g + g^-1 dg
000207 | 
000208 | bei w=0 holomorph sein. Die exakte Rechnung ergibt jedoch
000209 | 
000210 |     Res_{w=0}(Gamma_infty)=-(2 sqrt(2)/3) E_12.
000211 | 
000212 | Die reine diagonale Scherung entfernt also den diagonalen Pol, aber nicht den
000213 | resonanten E_12 Pol. Eine weitere Levelt oder Birkhoff Latticewahl ist noetig.
000214 | Sie kann die affine Spaltungsbasis und damit die Darstellung der endlichen
000215 | Flags veraendern. Deshalb beweist der folgende Test exakt die Stabilitaet des
000216 | deklarierten splitten Flagobjekts, noch nicht dessen Identitaet mit der
000217 | Deligne Erweiterung der v115 ODE.
000218 | 
000219 | Aus U A_k U^-1=A_{k+1} folgt fuer diese Rohflags exakt C4 Kovarianz. Eine D4
000220 | Reflexionslinearisierung folgt daraus nicht und wird hier nicht behauptet. Das
000221 | stabile D4 aequivariante Mehta Seshadri Objekt aus v117 existiert davon
000222 | unabhaengig.
000223 | 
000224 | Eine besonders kurze exakte Gleichung fuer die mittlere Ebene ist
000225 | 
000226 |     n_0=(-sqrt(10),3 sqrt(5),-5),
000227 |     H_k=ker(n_0 U^-k).
000228 | 
000229 | Damit sind alle unten verwendeten Inzidenzbedingungen unmittelbar lineare
000230 | Gleichungen mit ausgeschriebenen Koeffizienten.
000231 | 
000232 | Fuer eine Unterlinie L gilt in Einheiten von 1/3:
000233 | 
000234 |     m_k(L)=0, wenn L_{p_k} nicht in H_k liegt,
000235 |            =1, wenn L_{p_k} in H_k, aber nicht h_k liegt,
000236 |            =2, wenn L_{p_k}=h_k.
000237 | 
000238 | Alle Rechnungen unten sind exakte lineare Algebra ueber
000239 | Q(i,sqrt(2),sqrt(5)). Es gibt keine numerische Toleranz und keine Annahme ueber
000240 | die v117 ODE Identifikation.
000241 | 
000242 | 4. Alle Rang 1 Unterbuendel sind strikt negativ
000243 | ------------------------------------------------
000244 | 
000245 | Jedes Linienunterbuendel von E hat Grad hoechstens -1.
000246 | 
000247 | Grad -1.
000248 | 
000249 | Jede Injektion O(-1) -> E liegt in
000250 | 
000251 |     V=span(e2,e3)
000252 | 
000253 | und ist dort eine konstante Linie. Keine h_k liegt in V, weil die erste
000254 | Komponente von U^k v_2 ungleich null ist. Die Schnitte H_k cap V sind genau
000255 | zwei alternierende Linien:
000256 | 
000257 |     k gerade: C(0, sqrt(5)/3, 1),
000258 |     k ungerade: C(0,-sqrt(5)/3, 1).
000259 | 
000260 | Eine feste Linie in V trifft daher H_k an hoechstens zwei Punkten. Somit
000261 | 
000262 |     sum_k m_k <= 2,
000263 |     pardeg L <= -1 + 2/3 = -1/3 < 0.
000264 | 
000265 | Grad -2.
000266 | 
000267 | Eine Injektion O(-2) -> E hat in der affinen Karte die Form
000268 | 
000269 |     s(z)=(a,bz+c,dz+e).
000270 | 
000271 | Fuer a ungleich null ist sie automatisch nirgends null. Fuer a=0 ist sie
000272 | genau dann gesaettigt, wenn be-cd ungleich null ist. Die Bedingungen
000273 | 
000274 |     s(p_k) in H_k
000275 | 
000276 | sind je eine lineare Gleichung in (a,b,c,d,e), die Bedingungen
000277 | s(p_k) in h_k je zwei. Exakte Zeilenreduktion der 3^4 moeglichen
000278 | Inzidenzmuster ergibt
000279 | 
000280 |     max sum_k m_k = 4.
000281 | 
000282 | Es gibt 31 Muster mit Summe mindestens 5. Bei jedem hat die aus
000283 | n_0 U^-k s(i^k)=0 und den beiden Proportionalitaetsgleichungen zu U^k v_2
000284 | gebildete Koeffizientenmatrix Rang 5. Sie besitzen also nur die Nullloesung.
000285 | Die Schranke ist scharf. Das Muster (1,1,1,1) wird zum Beispiel durch
000286 | 
000287 |     s(z)=(3 sqrt(2)/2,z,0)
000288 | 
000289 | realisiert. Daher
000290 | 
000291 |     pardeg L <= -2 + 4/3 = -2/3 < 0.
000292 | 
000293 | Grad kleiner gleich -3.
000294 | 
000295 | Selbst das maximale Gewicht 4 mal 2/3 liefert
000296 | 
000297 |     pardeg L <= -3 + 8/3 = -1/3 < 0.
000298 | 
000299 | Damit destabilisiert kein Linienunterbuendel.
000300 | 
000301 | 5. Alle Rang 2 Unterbuendel sind strikt negativ
000302 | ------------------------------------------------
000303 | 
000304 | Sei F ein gesaettigtes Rang 2 Unterbuendel und Q=E/F das Quotientenlinienbuendel.
000305 | Mit den induzierten Strukturen ist der parabolische Grad additiv. Da
000306 | pardeg(E)=0, genuegt
000307 | 
000308 |     pardeg(Q)>0.
000309 | 
000310 | Ein Quotient E -> O(q) existiert nur fuer q >= -2.
000311 | 
000312 | q=-2.
000313 | 
000314 | Der Quotient ist bis auf Skalar die Projektion auf den O(-2) Summanden. Wegen
000315 | der ersten Komponente sqrt(10) von v_2 gilt q(U^k v_2) ungleich null an allen
000316 | vier Punkten. Sein Gewicht ist daher viermal 2/3 und
000317 | 
000318 |     pardeg(Q)=-2+8/3=2/3>0.
000319 | 
000320 | q=-1.
000321 | 
000322 | Jeder Quotient hat die Form
000323 | 
000324 |     q(z)=(az+b,c,d),       (c,d) ungleich (0,0).
000325 | 
000326 | Fuer Quotienten ist das Gewicht in Einheiten von 1/3 gleich
000327 | 
000328 |     0, wenn q(H_k)=0,
000329 |     1, wenn q(U^k v_2)=0, aber q(H_k) nicht 0 ist,
000330 |     2, wenn q(U^k v_2) nicht 0 ist.
000331 | 
000332 | Die exakte Zeilenreduktion aller 3^4 oberen Inzidenzmuster ergibt
000333 | 
000334 |     min sum_k m_k = 4.
000335 | 
000336 | Es gibt 31 Muster mit Summe hoechstens 3. Fuer jedes hat die aus
000337 | q(U^k v_2)=0 und q(H_k)=0 gebildete Koeffizientenmatrix Rang 4, also nur die
000338 | Nullloesung. Die Schranke ist scharf. Das Muster (1,1,1,1) wird durch
000339 | 
000340 |     q(z)=(-z/sqrt(2),1,0)
000341 | 
000342 | realisiert. Also
000343 | 
000344 |     pardeg(Q) >= -1+4/3=1/3>0.
000345 | 
000346 | q=0.
000347 | 
000348 | Ein Quotient hat die Form
000349 | 
000350 |     q(z)=(Az^2+Bz+C,Dz+E,Fz+G).
000351 | 
000352 | Gewicht null an allen vier Punkten wuerde q(H_k)=0 fuer jedes k verlangen.
000353 | Die acht linearen Gleichungen in den sieben Koeffizienten besitzen Rang 7.
000354 | Es gibt also keinen von null verschiedenen solchen Quotienten. Da die
000355 | Gewichte Vielfache von 1/3 sind,
000356 | 
000357 |     pardeg(Q) >= 1/3>0.
000358 | 
000359 | q>0.
000360 |