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000195 | ### 5.1 Zwei notwendige Bedingungen lassen sich nicht wegkürzen
000196 | 
000197 | Ohne Positivität hat [[1,2],[2,1]] auf (1,−1) die »Quadratnorm« −2.
000198 | Ohne Fortsetzungsverträglichkeit darf ein positives K die Geschichten 1 und a
000199 | gleichsetzen, obwohl a und a² orthogonal sind. Dann schickt die Operation a
000200 | denselben Zustand auf zwei verschiedene Zustände. Der Checker enthält beide
000201 | Gegenbeispiele.
000202 | 
000203 | ## 6. Der endliche Schließungstest — keine unendliche Stichprobensammlung
000204 | 
000205 | Seien h_1,...,h_d linear unabhängige, erreichbare Geschichten, deren Spann die
000206 | Referenz enthält. Definiere aus derselben Quelle
000207 | 
000208 |     G_ij = K(h_i,h_j),
000209 |     (B_a)_ij = K(h_i,a h_j),
000210 |     (D_a)_ij = K(a h_i,a h_j).
000211 | 
000212 | G ist positiv definit. Schreibe V für den Operator mit Spalten |h_i>. Die
000213 | orthogonale Projektion auf ihren Spann ist P=VG⁻¹V†. Dann ist
000214 | 
000215 |     R_a = D_a − B_a†G⁻¹B_a
000216 |         = (aV)†(I−P)(aV) ≥ 0.
000217 | 
000218 | **Satz:** R_a=0 genau dann, wenn a jeden Basisvektor in denselben Spann abbildet.
000219 | In diesem Fall ist die gesamte Operation in dieser Basis
000220 | 
000221 |     M_a=G⁻¹B_a.
000222 | 
000223 | Gilt dies für alle Generatoren des vollständigen deklarierten Operationssatzes
000224 | (einschließlich benötigter Adjungierter), bleiben durch Induktion alle Wörter
000225 | in diesem Spann. Ihr Verhalten folgt ohne weitere Zustandsparameter aus den
000226 | Matrizen M_a und der Referenz. Jede andere zyklische Realisierung derselben
000227 | Daten ist unitär äquivalent. Zusätzliche unzugängliche Sektoren bleiben dadurch
000228 | ausdrücklich unbestimmt.
000229 | 
000230 | Der Satz ist ein genauer endlicher Nachweis, **wenn** die gemeinsamen Werte
000231 | G,B_a,D_a gegeben oder aus einer Quelle hergeleitet sind. Man darf D_a nicht als
000232 | B_a†G⁻¹B_a definieren und dann die Schließung als Befund feiern.
000233 | 
000234 | Im Checker: nichtorthogonale Zweierbasis, zwei nichtkommutierende Generatoren,
000235 | zweite unitär verdrehte Realisierung, alle Wörter bis Länge fünf als Kontrollen.