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000026 | --------------------------------------------
000027 | Seien P,Q orthogonale Projektionen auf demselben Hilbertraum mit
000028 | 
000029 |   Q-P in L1,       k=Tr(Q-P).
000030 | 
000031 | Der Paarindexsatz besagt k in Z. Mit der Konvention Index(P,Q)=Tr(P-Q)
000032 | von Avron, Seiler und Simon ist unser k=-Index(P,Q). Fuer |z|<1 sei
000033 | 
000034 |   A_P=I-zP,   A_Q=I-zQ,   R=A_Q A_P^(-1).
000035 | 
000036 | Dann R-I=-z(Q-P)A_P^(-1) in L1 und
000037 | 
000038 |   det_F R = (1-z)^k.                                           (1)
000039 | 
000040 | Beweis ohne Quotienten undefinierter unendlicher Determinanten:
000041 | Alle A sind invertibel. Weil P,Q Projektionen sind,
000042 | 
000043 |   A_P^(-1)P=P/(1-z),   A_Q^(-1)Q=Q/(1-z).
000044 | 
000045 | Direkte Differentiation liefert die spurklassige Identitaet
000046 | 
000047 |   R' R^(-1)=A_Q [(P-Q)/(1-z)] A_Q^(-1).
000048 | 
000049 | Zyklizitaet der Spur eines spurklassigen Operators mit beschraenkten
000050 | Faktoren ergibt
000051 | 
000052 |   d_z Log det_F R = -k/(1-z).
000053 | 
000054 | Mit det_F R(0)=1 und dem holomorphen Logarithmus Log(1)=0 folgt (1).
000055 | Weder PQ=QP noch Q>=P, endlicher Rang oder ein gewaehlter Defektvektor
000056 | wurden verwendet. Bei k=1 bestimmt (1) keinen solchen Vektor.
000057 | 
000058 | 2. Jede vorhandene Kovarianz derselben Spurklasse
000059 | ------------------------------------------------
000060 | Sei U unitaer, Q=UPU*, Q-P in L1, und sei 0<=C<=I mit C-P in L1.
000061 | Setze A_C=I-zC und A_C'=I-zUCU*. Dann
000062 | 
000063 |   A_C' A_C^(-1)
000064 |    = [U(A_C A_P^(-1))U*]
000065 |      [A_Q A_P^(-1)] [A_P A_C^(-1)].
000066 | 
000067 | Jede Klammer ist Identitaet plus Spurklasse. Multiplikativitaet und unitaere
000068 | Invarianz des Fredholmdeterminanten lassen die erste und letzte Klammer
000069 | exakt kuerzen. Deshalb
000070 | 
000071 |   det_F[(I-zUCU*)(I-zC)^(-1)] = (1-z)^k.                        (2)
000072 | 
000073 | Die zuvor bewiesene alte Verschiebung und ihre treuen KMS Kovarianzen sind
000074 | Spezialfaelle. Neu im Anschluss ist, dass U keine uniforme Verschiebung und
000075 | UPU*-P keine positive Rang1 Projektion sein muss. Ein konkreter Zustand C
000076 | wird nicht rekonstruiert: alle C dieser Klasse haben denselben Faktor.
000077 | 
000078 | 3. Glatter Matrix Clutch auf dem vollstaendigen Originalkreis