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000096 | Die sechs bereits identifizierten nativen Wörter $u_g$ besitzen auf dieser Ebene die $S_3$-Gewichte
000097 | \begin{equation}\label{eq:sharedweights}
000098 | w(q)=\left(\tfrac12+\tfrac q6,\tfrac q6,\tfrac q6,
000099 | \tfrac1{18}-\tfrac q6,\tfrac29-\tfrac q6,\tfrac29-\tfrac q6\right),
000100 | \quad 0\le q\le\tfrac13,
000101 | \end{equation}
000102 | in der Reihenfolge $e,c,c^{-1},r_{59},r_{14},r_{13}$.
000103 | Für $N$ Register und einen gemeinsamen Record gilt
000104 | \begin{equation}\label{eq:sharedhierarchy}
000105 | \Psi_{N,q}(\rho)=\sum_gw_g(q)u_g^{\otimes N}\rho(u_g^{\otimes N})^*,
000106 | \qquad
000107 | \mathcal V_{N,q}\psi=\sum_g\sqrt{w_g(q)}\ket g\otimes u_g^{\otimes N}\psi.
000108 | \end{equation}
000109 | Direkt folgen $\mathcal V^*\mathcal V=I$ und die Verträglichkeit mit jeder partiellen Spur. Bei unabhängig erneuerten Ereignissen und ohne Zwischeneingriffe ist die gesamte ganzzahlige Entwicklung geschlossen:
000110 | \begin{equation}
000111 | \begin{split}
000112 | w_e^{*m}&=(1+h+2r+2s)/6,\\
000113 | w_c^{*m}=w_{c^{-1}}^{*m}&=(1+h-r-s)/6,\\
000114 | w_{r_{59}}^{*m}&=(1-h-2r+2s)/6,\\
000115 | w_{r_{14}}^{*m}=w_{r_{13}}^{*m}&=(1-h+r-s)/6,
000116 | \end{split}\qquad
000117 | r=(2/3)^m,\quad s=(1/3)^m,\quad h=q^m.
000118 | \end{equation}
000119 | Damit gilt $\Psi_{N,q}^m=\sum_gw_g^{*m}\operatorname{Ad}_{u_g^{\otimes N}}$ für alle $N$ und $m\ge0$; bei $m=0$ gilt $w^{*0}=\delta_e$, die Punktmasse am Identitätsereignis. Eingriffe zwischen den Schritten müssen ausdrücklich eingefügt werden. Die Faltungsformel ist kein Ersatz für solche geordneten Geschichten.
000120 | 
000121 | \subsection{Die gemeinsame kontinuierliche Zeit ist für die ganze Klasse entschieden}
000122 | \key{\textbf{Neuer, stärkerer Satz:}
000123 | Die Hierarchie~\eqref{eq:sharedhierarchy} besitzt genau dann eine konsistente zeitunabhängige GKLS-Fortsetzung auf denselben Registern, wenn $2/9\le q\le1/4$. Die Notwendigkeit folgt bereits aus zwei Registern und setzt den hypothetischen Generator nicht vorher als klassische oder reversible $S_3$-Mischung an.}
000124 | 
000125 | Zunächst bestätigt sich der einfache Endpunktzeuge des Anhangs. Für $q=1/3$ ist
000126 | \begin{equation}
000127 | w*w=(10/27,5/54,5/54,1/27,11/54,11/54).
000128 | \end{equation}
000129 | Die sechs $V_g=u_g\otimes u_g$ sind unabhängig. Ihre Gram-Matrix ist
000130 | \begin{equation}
000131 | G_{gh}=\tr(V_g^*V_h)=\diag(3I_3+\mathbf1\mathbf1^T,3I_3+\mathbf1\mathbf1^T),
000132 | \quad \det G=2916.
000133 | \end{equation}
000134 | Daher ist der Choi-Rang nach einem Schritt fünf und nach zwei Schritten sechs. Alle Tensorpotenzen $u^{\otimes N}$ mit $N\ge2$ enthalten die drei irreduziblen $S_3$-Darstellungen; der gleiche Rangsprung gilt für sämtliche dieser $N$.
000135 | 
000136 | Für eine endlichdimensionale zeitunabhängige GKLS-Halbgruppe ist der Krausrang für $t>0$ konstant. Eine Begründung benutzt die positiven Sprungtrajektorien: Nach Abspaltung der invertiblen driftenden Linksmultiplikation wird ihr linearer Raum von Produkten der analytisch konjugierten Sprungoperatoren erzeugt. Die Auswertung auf jedem offenen Zeit-Simplex spannt denselben analytischen Funktionenraum auf; seine Dimension hängt nicht von der positiven Intervalllänge ab. Der Rangsprung schließt somit jede solche Halbgruppe am Endpunkt aus. Die Hauptquadratwurzel liefert zusätzlich den unabhängigen negativen normierten Choi-Erwartungswert
000137 | \begin{equation}
000138 | \frac{3+\sqrt3-2\sqrt6}{20}<0.
000139 | \end{equation}