TFPT scientific source excerpt
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000011 | 
000012 | 1. DER ANGEGEBENE S0-KERN IST KORREKT
000013 | 
000014 | Setze Dq=sum q_a, Dp=sum p_a, Kinf=infty_1+infty_2,
000015 | q_a=-omega^a, p_a=omega^a, u=(w^3+1)/eta. Es gilt
000016 | 
000017 |  div(dw)=Dq+Dp-2Kinf,   div(u)=Dq-Dp.
000018 | 
000019 | Damit besitzen die koharent gewaehlten meromorphen S0-Sektionen
000020 | 
000021 |  Phi=sqrt(u dw),   Chi=Phi/u,   Phi Chi=dw
000022 | 
000023 | die Divisoren Dq-Kinf und Dp-Kinf. Die Wurzeln sind Sektionen des
000024 | Spinbuendels, keine globalen skalaren Quadratwurzeln ohne Multiplikatoren.
000025 | Mit dieser Typisierung ist
000026 | 
000027 |  S(x,y)=[Phi(x)Chi(y)+Chi(x)Phi(y)]/[2(w_x-w_y)]
000028 | 
000029 | der normierte S0-Szegokern. Er ist antisymmetrisch und hat Diagonalresiduum
000030 | eins, mit der ueblichen Interpretation als Halbform in beiden Variablen.
000031 | An einem q-Punkt, in der lokalen Koordinate t=eta, gelten
000032 |  w=q+ct^2+..., Phi=a t sqrt(dt)+..., Chi=b sqrt(dt)+..., ab=2c.
000033 | Die Formel ergibt sqrt(dt ds)/(t-s). An einem p-Punkt tauschen Phi und
000034 | Chi ihre Rollen. Somit stimmt auch dort das Diagonalresiduum.
000035 | 
000036 | Fuer konjugierte Blaetter mit gleichem endlichem w wechselt u das Vorzeichen;
000037 | der Zaehler verschwindet und beseitigt den scheinbaren weiteren Pol. Mit
000038 | t=1/w am Unendlichen heben sich die einfachen Pole der Halbformen gegen
000039 | den Nenner auf. Auch das Paar der beiden verschiedenen Unendlichpunkte
000040 | ist regulaer: auf entgegengesetzten Blaettern ist
000041 | u(t)=+/-(-i)(1+t^3+O(t^6)); der betreffende Zaehler ist durch t-s teilbar.
000042 | Die einzige verbleibende Polstelle ist die Diagonale. Die Differenz zweier
000043 | solcher Kerne waere eine globale Sektion von S0 boxtimes S0 und ist wegen
000044 | H0(S0)=0 null. Dies ist ein positiver expliziter Anschluss an das alte S0.
000045 | 
000046 | 2. DIE PUNKTBEINE LIEFERN DIE BEREITS BEWIESENEN NULLSEKTIONEN
000047 | 
000048 | Fuer festes q_a gilt S(x,q_a) proportional zu
000049 | 
000050 |  s_a=Phi/(w+omega^a).
000051 | 
000052 | Als meromorphe S0-Sektion hat s_a den Divisor
000053 |  -q_a+q_(a+1)+q_(a+2).
000054 | Tensoriert mit der ausgezeichneten meromorphen Sektion von
000055 | L_a=O(D_a), D_a=q_a-q_(a+1), ergibt dies eine holomorphe Sektion
000056 | von T_a=S0 L_a mit Divisor q_(a+2). Sie erzeugt den eindimensionalen
000057 | Raum H0(T_a). Das andere Bein bei q_(a+1) liefert entsprechend den
000058 | Serre-dualen Raum H0(K T_a^-1), also das Dual des Kokerns.
000059 | 
000060 | S(q_b,q_a)=0 fuer verschiedene q-Punkte, ebenso fuer verschiedene
000061 | p-Punkte; die gemischten q/p-Werte sind ungleich null. Das folgt direkt
000062 | aus den einfachen Nullstellen von Phi beziehungsweise Chi. Der alte
000063 | Befund h0(S0 Fq)=h1(S0 Fq)=3 und Index null bleibt damit exakt erhalten.
000064 | 
000065 | 3. PRODUKT: RICHTIGE FORMEL, ABER ZWEI VERSCHIEDENE BUENDELTYPEN
000066 | 
000067 | Fuer {a,b,c}={0,1,2} ist die nackte meromorphe S0-Produktformel richtig:
000068 | 
000069 |  s_a s_b=(w+omega^c) dw/eta.
000070 | 
000071 | Sie liegt als solche in S0^2=K und hat Divisor 2q_c. Das ist eine
000072 | gewoehnliche holomorphe K-Sektion. Sie ist noch nicht das Produkt der
000073 | tatsaechlichen holomorphen T_a- und T_b-Sektionen mit ihren L-Faktoren.
000074 | Dieses Produkt liegt in K L_a L_b, isomorph zu K L_c, und hat Divisor
000075 | 
000076 |  q_(a+2)+q_(b+2)=q_c+q_(c+1).
000077 | 
000078 | Es sind zwei VERSCHIEDENE Punkte. Beispiel a=0,b=1: q_2+q_0.
000079 | In Divisorrahmen ist die Rechnung besonders kurz: D_a+D_b=-D_c;
000080 | zum Divisor 2q_c der nackten Form kommt -D_c hinzu. Die Identifikation
000081 | L_c^-1 mit L_c benutzt die vorhandene Zweitorsion beziehungsweise ihre
000082 | Kummertrivialisierung. Sie darf nicht aus dem Ausdruck weggelassen werden.
000083 | 
000084 | Der Produktraum H0(K L_c) ist tatsaechlich eindimensional: Riemann-Roch
000085 | gibt h0(K L_c)=1+h0(L_c^-1)=1, weil L_c nichttrivial von Grad null ist.
000086 | Die korrekte V4-Produktabbildung bleibt bestehen; die behauptete doppelte
000087 | Nullstelle als geometrischer Divisor dieses verdrehten Produktes ist falsch.
000088 | 
000089 | 4. QUARTERTRANSPORT: NACKTE FORMEL UND VERDREHTE SEKTION TRENNEN
000090 | 
000091 | Q(w,eta)=(1/w,-i eta/w^3) erfuellt u o Q=i u und Q*dw=-dw/w^2.
000092 | Daher ist in einem kohaerenten meromorphen S0-Rahmen
000093 | 
000094 |  Q*s_a=zeta omega^(-a) s_(-a),   zeta^2=-i.
000095 | 
000096 | Diese Formel ist fuer die nackten S0-Beine richtig. Sie ist noch keine
000097 | Formel fuer die ganze T_a-Sektion. Denn
000098 | 
000099 |  Q*D_a=q_(-a)-q_(-a-1)=-D_(-a-1),
000100 |  Q*L_a isomorph L_(-a-1),   Q*T_a isomorph T_(-a-1).
000101 | 
000102 | Der Wechsel vom inversen Divisorrahmen zum ausgewaehlten L-Rahmen traegt
000103 | den entsprechenden Kummerfaktor bei. Auch die effektiven Nullstellen
000104 | bestaetigen dies: Q*(q_(a+2))=q_(1-a), die Nullstelle von T_(-a-1).
000105 | Die im Kandidaten gedruckte nackte Formel darf daher nicht als falsche
000106 | Permutation T_a -> T_(-a) der tatsaechlichen drei Kernraeume gelesen werden.
000107 | 
000108 | 5. SIGMA IST NICHT FREI; A_q^2 IST KEIN RELATIVES DIVISORZEICHEN
000109 | 
000110 | Das Original fixiert beta auf S0 am q0 mit Faserphase +i und den
000111 | Koeffizientenlift A_q^2=diag(-1,+1,-1). Fuer den Vergleich mit Divisorrahmen
000112 | ist die wichtige Zusatzrechnung:
000113 | 
000114 | Der kanonische hyperelliptische Lift auf O(D_a) laesst seine tautologische
000115 | meromorphe Sektion fest. An einem Fixpunkt mit Divisorordnung n wirkt
000116 | er auf der Faser durch (-1)^n, denn die lokale Koordinate eta wechselt
000117 | das Vorzeichen. Am q0 sind diese drei Faserwerte bereits (-1,+1,-1).
000118 | Sie stimmen also exakt mit dem Original A_q^2 ueberein. Zwei Lifts auf
000119 | demselben holomorphen Linienbuendel unterscheiden sich nur um eine globale
000120 | Konstante; ihr Wert am q0 legt diese Konstante fest. Der tatsaechliche
000121 | Koeffizientenlift ist folglich der kanonische Divisorlift, relativ dazu
000122 | sigma=(+1,+1,+1). A_q^2 noch einmal als relative Zeichen einzusetzen
000123 | wuerde die geometrische Divisorwirkung ein zweites Mal einrechnen.
000124 | 
000125 | Auf Phi wirkt beta durch -i: Phi hat am q0 eine einfache Nullstelle,
000126 | waehrend die Spinphase dort +i und die lokale Koordinatenwirkung -1 ist.
000127 | Da w invariant ist, gilt beta*s_a=-i s_a fuer alle a. Der tautologische
000128 | L_a-Faktor bleibt fest. Somit wirkt der tatsaechliche tensorierte
000129 | hyperelliptische Lift auf allen drei H0(T_a) EINHEITLICH durch -i.
000130 | Dies folgt aus den bereits gewaehlten Lifts und ist keine neue Konvention.
000131 | Ebenso folgen die S0-Faserphasen +i an allen q und -i an allen p aus Phi.
000132 | 
000133 | Das ist eine bestimmte algebraische Operatorwirkung auf diesen globalen
000134 | Nullsektionen. Die Identifikation dieses Raums, seiner Realstruktur und
000135 | seines Operators mit dem Clifford-/P1-/APS-Raum wird dadurch nicht bewiesen.
000136 | Der Quarterlift besitzt weiterhin vierte Potenz -I auf den Spinsektionen.
000137 | 
000138 | 6. RANG-EINS-FORMEL JA; KANONISCHER ENDLICHER TEIL FOLGT NICHT
000139 | 
000140 | Fuer nichtsingulaere S0(p-q) ist im entsprechenden meromorphen Rahmen
000141 | 
000142 |  G=S-S(.,p)S(q,.)/S(q,p)
000143 | 
000144 | die richtige elementare Modifikationsformel. Bei p=q_a und q=q_(a+1)
000145 | verschwindet der Nenner einfach in eta(q); der Zaehler bei epsilon=0 ist
000146 | nicht null. Es entsteht ein einfacher Pol mit Rang-eins-Residuum, getragen
000147 | von der Nullsektion und ihrem Serre-dualen Gegenstueck. Das Vorzeichen des
000148 | gedruckten Polterms folgt aus dem Minuszeichen der Formel; es kann in die
000149 | Normierung eines Beines aufgenommen werden, muss aber kohaerent bleiben.
000150 | 
000151 | Der endliche Laurentkoeffizient ist ohne Identifikation der variierenden
000152 | Buendel KEIN kanonischer Greenoperator auf dem Grenzbuendel. Kleiner
000153 | Gegenfall: Schreibe G_epsilon=epsilon^-1 P+G0+O(epsilon). Aendere die
000154 | Identifikation mit dem Grenzraum durch g_epsilon=exp(epsilon f), g_0=I.
000155 | Dann wird der endliche Teil unter Konjugation zu
000156 | 
000157 |  G0+[f,P].
000158 | 
000159 | Ein nichtkonstantes glattes f mit [f,P] ungleich null liefert verschiedene
000160 | endliche Teile bei derselben eta-Parametrisierung und demselben Residuum.
000161 | Lokal gilt die gleiche Rechnung bereits mit holomorphen Rahmenwechseln.
000162 | Das ist die inhomogene Transformation eines endlichen Teils bei einem Pol.
000163 | Eine festgelegte Familie samt Transport beziehungsweise geeigneter
000164 | Rahmenrigidifizierung kann einen bestimmten endlichen Teil definieren.
000165 | Die Nullstellen und die lokale Koordinate eta allein liefern diese Daten
000166 | nicht. Ein L2-Pseudoinverses verlangt zudem die passende hermitesche
000167 | Struktur und Projektionen; es folgt nicht aus der nackten Laurentformel.
000168 | 
000169 | 7. KLEINE AUSWAHLREGEL UND SCOPED VERDICT
000170 | 
000171 | Unter der ZUSATZVORGABE, die drei Spezies bijektiv auf drei verschiedene
000172 | markierte q-Punkte zu setzen, bleiben genau zwei Zuordnungen ohne Null:
000173 | a -> q_a und a -> q_(a+1). Die ausgeschlossene Stelle fuer Spezies a ist
000174 | q_(a+2). Die Bezeichnungen Nullpunkt/Polpunkt im Kandidaten vertauschen
000175 | daher den tatsaechlichen Divisorbefund. Q vertauscht diese beiden
000176 | Zuordnungen, E0 fixiert beide. Dies ist eine endliche Auswertungsregel
000177 | unter jener Vorgabe, noch keine physische Einfuegungs- oder Zustandsregel.
000178 | 
000179 | Akzeptiert: expliziter S0-Szegokern, q/p-Nullwerte, Nullsektionen als
000180 | Punktbeine, rang-eins-singulaere Modifikation, korrekt typisierte V4-Produkte.
000181 | Korrigiert: Produktdivisoren, Interpretation des Q-Transports, die angeblich
000182 | freie sigma-Wahl und die behauptete Kanonizitaet des reduzierten Kerns.
000183 | Der erste echte positive Schritt ist die explizite Verbindung des alten S0
000184 | mit den bereits bewiesenen drei globalen Nullrichtungen. Die geschlossene
000185 | Kurve ersetzt weiterhin keinen Nachweis des urspruenglichen APS-Operators,
000186 | seiner Domaene, seiner Realstruktur oder seines physikalischen Zustands.